Hukum Benford

Pada tahun 1881, astronom Amerika Simon Newcomb memperhatikan sesuatu yang aneh pada tabel logaritma. Halaman-halaman awal, yang berisi bilangan berawalan angka satu, jauh lebih lusuh daripada halaman berikutnya. Mengapa orang lebih sering mencari bilangan yang diawali angka satu daripada bilangan yang diawali angka delapan atau sembilan? Newcomb menulis artikel pendek tentang hal ini. Tidak ada yang memperhatikannya.

Lima puluh tujuh tahun berlalu. Pada tahun 1938, fisikawan Frank Benford dari perusahaan General Electric memperhatikan hal yang sama secara terpisah. Ia tidak berhenti di situ. Ia mengumpulkan lebih dari 20.000 bilangan dari 20 bidang yang berbeda: luas daerah aliran sungai, konstanta fisika, angka kematian, angka dari artikel surat kabar, statistik bisbol… Bilangan-bilangan yang sama sekali tidak berhubungan satu sama lain.

Angka pertama sebuah bilangan bisa salah satu dari sembilan angka, dari 1 sampai 9 (nol biasanya tidak berada di awal). Jadi, kita akan menduga bahwa setiap angka sama seringnya menjadi angka pertama, yaitu pada sekitar 11% kasus. Ternyata tidak. Ketika Benford menghitung semuanya, angka satu berada di awal pada sekitar 30% bilangan. Makin besar angkanya, makin jarang angka itu menjadi angka pertama, dan bilangan yang diawali angka sembilan kurang dari 5%. Gejala ini sekarang disebut hukum Benford, kadang juga hukum Newcomb–Benford.

Mengapa justru angka satu

Bayangkan sebuah desa berpenduduk 100 orang yang jumlah penduduknya bertambah 10% setiap tahun. Setelah setiap tahun penuh, desa itu berpenduduk (dibulatkan) 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… orang. Agar naik dari 100 ke 200, jumlah penduduk harus bertambah 100%, dan itu memakan waktu 8 tahun. Setelah tujuh tahun desa itu berpenduduk 195 orang, dan pada tahun kedelapan sudah lebih dari 200.

Dari 200 ke 300 cukup bertambah 50%, dan dari 800 ke 900 hanya 12,5%. Makin besar angka pertamanya, makin cepat desa itu melewatinya. Sepanjang perjalanan dari 100 sampai 1.000 penduduk, yang memakan waktu 25 tahun, jumlah penduduk diawali angka satu selama 8 tahun, angka dua selama 4 tahun, angka tiga selama 3 tahun, dan angka-angka lainnya hanya satu atau dua tahun. Angka sembilan berada di awal hanya selama satu tahun, ketika desa itu berpenduduk 985 orang, dan tahun berikutnya penduduknya sudah lebih dari seribu. Delapan tahun dari 25 tahun adalah 32%, dekat dengan 30% tadi. Bilangan yang tumbuh dengan persentase yang sama menghabiskan waktu paling lama dengan angka satu di depannya.

Menariknya, satuan tidak berpengaruh. Jika panjang sungai kamu ubah dari kilometer ke mil, semua bilangannya berubah. Namun, jika panjang sungai memenuhi hukum Benford, dalam mil pun hukum itu tetap terpenuhi. Proporsi angka satu hampir tidak berubah.

Seberapa sering setiap angka menjadi angka pertama

Menurut hukum Benford, peluang suatu bilangan diawali angka d adalah

$$P(d)={}^{10}\log (1+\frac{1}{d}),$$

dengan ¹⁰log logaritma basis 10. Kita coba dulu untuk angka satu, jadi kita substitusikan d = 1:

$$P(1)={}^{10}\log (1+\frac{1}{1})$$

Kita jumlahkan isi kurung:

$$P(1)={}^{10}\log 2\approx \mathrm{0,301}$$

Jadi, angka satu mengawali sekitar 30,1% bilangan. Angka-angka lainnya sebagai berikut:

Jumlahnya tepat 100%, sebagaimana mestinya. Garis putus-putus pada grafik menunjukkan $\frac{1}{9}$, yaitu bagian yang akan didapat setiap angka seandainya semua angka sama seringnya.

Setelah mempunyai rumusnya, kita bisa melangkah lebih jauh. Hukum ini juga berlaku untuk dua angka pertama. Cukup substitusikan bilangan dua angka dari 10 sampai 99 untuk d ke rumus yang sama. Jadi, pasangan 10 dan 11 jauh lebih sering berada di awal daripada 98 dan 99:

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${}^{10}\log (1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Suatu bilangan diawali 10 pada sekitar 4,1% kasus dan diawali 11 pada 3,8% kasus, sedangkan 98 atau 99 hanya sekitar 0,44%. Hal yang sama berlaku, misalnya, untuk panjang sungai-sungai di dunia.

Kapan hukum ini berlaku dan kapan tidak

Hukum Benford biasanya berlaku untuk data yang mencakup beberapa orde besaran, misalnya dari puluhan sampai jutaan, dan yang muncul dari pertumbuhan alami atau pengukuran. Namun, rentang yang lebar pun tidak menjaminnya, karena itu dikatakan “biasanya”.

Hukum ini tidak berlaku untuk data dengan rentang terbatas. Tinggi badan orang dewasa berkisar antara 150 dan 200 cm, jadi hampir selalu diawali angka satu. Hukum ini juga tidak berlaku untuk data dengan batas buatan, misalnya jumlah uang yang ditarik dari ATM, yang merupakan kelipatan puluhan ribu dan mempunyai batas atas. Hukum ini sama sekali tidak berlaku untuk nomor identitas dan kode, seperti nomor telepon atau nomor induk kependudukan. Nomor-nomor itu bukan hasil mencacah atau mengukur, hanya nama yang ditulis dengan angka.

Bagaimana hukum ini menjerat pelaku kecurangan

Orang yang mengarang angka cenderung memberi kesempatan yang mirip kepada semua angka. Dalam faktur atau pembukuan yang dikarang, angka satu di awal jadi terlalu sedikit dan angka besar terlalu banyak. Karena itu, auditor dan kantor pajak memakai hukum ini sebagai petunjuk ke mana harus melihat lebih teliti. Dalam akuntansi forensik, hukum ini merupakan alat yang lazim.

Namun, ini bukan bukti kecurangan. Perusahaan yang menjual satu jenis barang seharga Rp79.000 akan mempunyai banyak faktur yang diawali angka tujuh jika barangnya dibeli satuan, padahal tidak ada yang memalsukan apa pun. Penyimpangan hanya menunjukkan bahwa data itu layak diperiksa lebih teliti.

Penelitian Bernhard Rauch dan rekan-rekannya pada tahun 2011 membandingkan data makroekonomi yang dilaporkan negara-negara Uni Eropa kepada Eurostat pada tahun 1999–2009 terkait aturan defisit dengan hukum Benford. Di antara negara zona euro, data Yunani paling menyimpang dari hukum itu. Pada masa itu terungkap bahwa Yunani memang menyajikan data defisitnya secara tidak benar.

Setelah pemilihan presiden Iran tahun 2009, yang dimenangkan Mahmoud Ahmadinejad, para ahli statistik menganalisis perolehan suara. Untuk pemilu, angka pertama sebenarnya tidak cocok, karena daerah pemilihan berukuran mirip sehingga perolehan suara tidak mencakup cukup banyak orde besaran. Karena itu, Walter Mebane menguji angka kedua hasil dari setiap kotak suara menurut hukum Benford dan menemukan penyimpangan pada tiga dari empat kandidat. Bernd Beber dan Alexandra Scacco meneliti angka terakhir hasil di setiap provinsi. Angka-angka itu seharusnya tersebar merata, masing-masing sekitar 10%, tetapi ternyata angka tujuh muncul 17% dan angka lima hanya 4%. Mebane sendiri menekankan bahwa analisisnya tidak membuktikan adanya manipulasi, hanya mendukung dugaan itu. Dalam kedua kasus, hasilnya bukan bukti kecurangan.

Coba sendiri pada datamu, misalnya pada mutasi rekening atau harga-harga di struk belanja. Jika tidak ada data, ambil saja pangkat-pangkat bilangan 2. Dari seribu pangkat pertama, yaitu 2¹ sampai 2¹⁰⁰⁰, ada 301 yang diawali angka satu, dan hukum Benford juga meramalkan 301. Sulit membayangkan kecocokan yang lebih baik.

Lihat juga

• Logaritma
• Dasar-dasar statistika
• Paradoks ulang tahun