Paradoks Sankt-Peterburg

Paradoks Sankt-Peterburg memadukan statistika, pengambilan keputusan, dan peluang. Bayangkan di Sankt-Peterburg ada sebuah tempat permainan yang menawarkan permainan dengan hadiah uang. Tugas kita adalah mencari tahu berapa biaya ikut yang adil untuk permainan ini.

Aturan permainan

Jika kita ikut bermain, petugas mulai melempar uang logam. Jika pada lemparan pertama muncul gambar, permainan selesai dan kita memenangkan seribu rupiah. Jika muncul angka, permainan berlanjut. Pada putaran kedua uang logam dilempar lagi. Jika muncul gambar, permainan selesai dan kita memenangkan dua kali lipat hadiah sebelumnya, yaitu dua ribu rupiah. Jika muncul angka, permainan berlanjut. Jika gambar muncul pada putaran ketiga, kita menang empat ribu rupiah. Jika muncul pada putaran keempat, kita menang delapan ribu rupiah.

Secara umum: jika gambar muncul pada putaran ke-k, kita memenangkan 2^{k − 1} ribu rupiah. Pertanyaannya sekarang: berapa biaya ikut yang adil untuk permainan ini?

Nilai harapan

Harga yang adil seharusnya bergantung pada nilai harapan. Misalnya, jika rata-rata kita dapat memenangkan seratus ribu rupiah, biaya ikutnya seharusnya seratus ribu rupiah, atau sedikit lebih agar penyelenggara mendapat untung. Lalu, berapa nilai harapan dalam permainan kita? Kita tuliskan peluang untuk memperoleh setiap hadiah. Kolom pertama berisi hadiah (dalam ribuan rupiah), kolom kedua berisi peluang kita mendapat hadiah itu. Misalnya, peluang muncul gambar pada lemparan pertama adalah $\frac{1}{2}$. Peluang muncul angka dulu, lalu gambar, adalah $\frac{1}{4}$. Dan seterusnya.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Bagaimana kita menghitung nilai harapannya? Setiap hadiah yang mungkin kita kalikan dengan peluang mendapatkannya, lalu semuanya kita jumlahkan. Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Nilai harapannya tak hingga. Jadi, dalam keadaan ideal, nilai harapan hadiahnya adalah uang yang tak hingga banyaknya. Kedengarannya tidak buruk. Masalahnya, biaya ikutnya juga harus tak hingga. Tentu saja itu tidak masuk akal.

Para pengkritik paradoks ini tentu saja berkeberatan bahwa kita tidak dapat bermain selama waktu yang tak hingga, tidak dapat memenangkan uang yang tak hingga banyaknya, dan bahkan jika banyak lemparan maksimum “dikurangi” dari tak hingga menjadi suatu bilangan berhingga n, kita tetap cukup cepat sampai pada jumlah uang yang tidak dimiliki siapa pun di dunia. Misalnya, setelah 41 lemparan kamu sudah memenangkan 2⁴⁰ ribu rupiah, yaitu sekitar seribu triliun rupiah. Setelah sepuluh lemparan berikutnya, kamu memenangkan uang seribu kali lebih banyak.

Biaya ikut yang berhingga

Tentu saja tidak ada yang akan membayar biaya ikut yang tak hingga besarnya. Namun, paradoks ini sebagian dapat diperlihatkan juga dengan jumlah uang yang berhingga. Untuk setiap jumlah uang berupa kelipatan seribu rupiah, ada banyak lemparan maksimum yang membuat nilai harapannya sesuai dengan yang kita perlukan. Misalnya, jika kita ingin biaya ikutnya satu juta rupiah, yaitu seribu ribu rupiah, kita tetapkan banyak lemparan maksimum 2.000. Lalu kita menghitung jumlah seperti ini:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Nilai harapannya menjadi 1000 ribu rupiah. Jika kita ingin biaya ikut sebesar D ribu rupiah, kita tetapkan banyak lemparan maksimum 2D.

Namun, tentu saja tidak ada orang berakal sehat yang mau membayar biaya ikut, misalnya, satu juta rupiah jika peluangnya untuk menang lebih dari satu juta rupiah sangat kecil.

Sumber lain

• Wikipedia bahasa Inggris