Paradoks dasi

Dua orang pengusaha, Pak Budi dan Pak Agus, bertemu saat berlibur di Dubai. Setelah beberapa cangkir kopi, mereka mulai bertaruh tentang siapa yang memakai dasi lebih mahal.

Soal

Seperti sudah kita ketahui, setelah beberapa cangkir kopi Pak Budi dan Pak Agus mulai bertaruh tentang siapa yang dasinya lebih mahal. Dasi itu mereka terima sebagai hadiah dari istri masing-masing, dan mereka sendiri tidak tahu harganya. Bunyi taruhannya begini: mereka menanyakan harga dasi kepada istri masing-masing, dan siapa yang dasinya lebih murah mendapat dasi milik yang lain. Jadi, jika dasi Pak Agus lebih murah daripada dasi Pak Budi, Pak Agus mendapat dasi Pak Budi. Begitu pula sebaliknya. Pertanyaan pertama: apakah salah satu dari mereka lebih diuntungkan? Apakah taruhan ini menguntungkan bagi salah satu dari mereka, atau peluang keduanya sama persis?

Penyelesaian semu

Mungkin saja ada yang diuntungkan. Selanjutnya kita asumsikan bahwa harga kedua dasi berbeda. Hal ini tidak mengubah penyelesaian, karena jika harganya sama, tidak ada yang mendapat dasi orang lain. Coba hitung bersama: dasi Pak Agus seharga X rupiah. Tentang dasi Pak Budi ia tidak tahu apa-apa dan tidak punya petunjuk lain, jadi peluang dasinya lebih murah adalah 50%, dan peluang dasinya lebih mahal juga 50%. Jadi, jika dasi Pak Agus lebih mahal, ia kehilangan X rupiah. Namun, jika dasinya lebih murah, ia mendapat lebih dari X rupiah. Keduanya dengan peluang 50%: ia mempunyai peluang 50% kehilangan X rupiah dan peluang 50% mendapat lebih dari X rupiah.

Jadi, dengan peluang yang sama, ia bisa memenangkan lebih banyak uang (dasi yang lebih mahal) daripada yang bisa hilang darinya. Itu menguntungkan! Tampaknya semuanya berjalan baik bagi Pak Agus, dan lebih baik baginya untuk ikut bertaruh. Ia bisa mendapat lebih banyak daripada yang bisa hilang.

Namun, seperti yang mungkin sudah kamu duga, Pak Budi dapat berpikir dengan cara yang sama. Pak Budi juga mempunyai peluang 50% kehilangan dasinya yang seharga Y dan peluang 50% memenangkan dasi yang harganya lebih dari Y.

Jelas tidak mungkin kedua peserta dalam taruhan yang sama sama-sama diuntungkan; pasti ada yang salah.

Penyelesaian

Pertama-tama kita tuliskan apa yang sebenarnya bisa dimenangkan masing-masing. Kita ambil harga dasi tertentu. Agar sederhana, misalkan hanya ada dua dasi, seharga 300.000 dan 400.000 rupiah. Dari sudut pandang Pak Agus, dapat terjadi kasus-kasus berikut:

• Dasi Pak Agus seharga 300.000 dan dasi Pak Budi seharga 400.000 → Pak Agus mendapat 400.000.
• Dasi Pak Agus seharga 400.000 dan dasi Pak Budi seharga 300.000 → Pak Agus kehilangan 400.000.

(Kemungkinan bahwa dasi mereka berharga sama sudah kita kesampingkan, tetapi sebenarnya tidak perlu. Dalam hal itu, tidak ada yang menang.)

Terlihat bahwa taruhannya selalu tentang jumlah uang yang sama: Pak Agus bisa mendapat 400.000 atau kehilangan 400.000. Hal ini tentu tidak bergantung pada harga tertentu. Jika kamu memasukkan harga 250.000 dan 350.000, taruhannya selalu tentang 350.000 rupiah. Jadi, tanpa informasi tambahan, ikut bertaruh (atau tidak ikut) sama sekali tidak menguntungkan siapa pun.

Jika ada tiga dasi yang berbeda, misalnya seharga 200.000, 300.000, dan 400.000, kemungkinannya sedikit lebih banyak. Pertama kemenangan Pak Agus, lalu kekalahannya:

• Dasi Pak Agus seharga 200.000 dan dasi Pak Budi seharga 300.000 → Pak Agus mendapat 300.000.
• Dasi Pak Agus seharga 200.000 dan dasi Pak Budi seharga 400.000 → Pak Agus mendapat 400.000.
• Dasi Pak Agus seharga 300.000 dan dasi Pak Budi seharga 400.000 → Pak Agus mendapat 400.000.
• Dasi Pak Agus seharga 300.000 dan dasi Pak Budi seharga 200.000 → Pak Agus kehilangan 300.000.
• Dasi Pak Agus seharga 400.000 dan dasi Pak Budi seharga 200.000 → Pak Agus kehilangan 400.000.
• Dasi Pak Agus seharga 400.000 dan dasi Pak Budi seharga 300.000 → Pak Agus kehilangan 400.000.

Semua kemungkinan berpeluang sama. Terlihat bahwa Pak Agus bisa mendapat tepat sebanyak uang yang juga bisa hilang darinya. Tabel serupa kita peroleh untuk dasi yang lebih banyak lagi: Pak Agus selalu bisa kehilangan uang yang sama dengan uang yang bisa ia dapat. Karena semua kemungkinan berpeluang sama, tidak ada peserta yang dirugikan.

Kesalahan utama Pak Agus adalah ia menganggap harga dasinya tetap. Ia tidak boleh berbuat begitu. Seperti terlihat pada contoh dengan dua dasi, harga dasinya ketika kalah berbeda dengan harga dasinya ketika menang. Begitu pula pada contoh berikutnya dengan tiga dasi: ketika Pak Agus menang, harga dasinya berasal dari himpunan {200.000, 300.000}, tetapi ketika kalah, harganya berasal dari himpunan {300.000, 400.000}. Namun, Pak Agus tetap menghitung dengan harga yang tetap.