Perhitungan persen

Persen biasanya menyatakan bagian relatif dari suatu keseluruhan, dan keseluruhan itu sendiri dinyatakan sebagai 100%. Persen selalu bisa ditulis sebagai pecahan.

Persen sebagai bagian dari keseluruhan

Persen kita pakai ketika ingin menyatakan bagian dari suatu keseluruhan. Persen bisa menggantikan ungkapan seperti “seperempat siswa di kelas harus ikut remedial” atau “satu dari dua orang adalah laki-laki”. Selalu ada suatu keseluruhan, misalnya seluruh siswa dalam satu kelas, lalu kita mengatakan bahwa seperempat di antaranya harus ikut remedial. Jika di kelas ada 32 siswa dan seperempatnya harus ikut remedial, banyak siswa yang ikut remedial adalah:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{sama dengan}\frac{32}{4}=8$$

Pada contoh kedua, ambil sebuah kota, misalnya Padang Panjang. Penduduknya kira-kira 60.000 orang. Jika satu dari dua penduduk adalah laki-laki, artinya setengah penduduknya laki-laki. Kita tulis:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{sama dengan}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Kita juga bisa mengatakan bahwa “satu dari seratus orang di Padang Panjang adalah matematikawan”. Artinya, di Padang Panjang ada $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matematikawan. “Satu dari seratus” sama dengan “seperseratus penduduk”.

Sekarang kita bisa memperkenalkan istilah persen. Satu persen, ditulis 1%, berarti seperseratus dari keseluruhan. Jadi, kalimat “satu dari seratus orang di Padang Panjang adalah matematikawan” dan “satu persen penduduk Padang Panjang adalah matematikawan” artinya sama. Satu persen dari keseluruhan dihitung dengan mengalikan keseluruhan dengan $\frac{1}{100}$ atau membaginya dengan 100. Keduanya sama saja.

Persen mudah diubah menjadi pecahan, lalu bisa diolah lebih lanjut. Kalimat “di Padang Panjang, x% penduduk berambut hitam” sama artinya dengan “di Padang Panjang, $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ penduduk berambut hitam”. 100% menyatakan keseluruhan, yaitu semua penduduk. Kalimat “100% siswa naik kelas” berarti semua siswa naik kelas. Kalimat “0% siswa tinggal kelas” berarti tidak ada yang tinggal kelas. Contoh:

1. 35% penduduk Padang Panjang naik bus. Berapa banyak penduduk yang naik bus? 35 % sama dengan $\frac{35}{100}$ dari keseluruhan (= “tiga puluh lima perseratus dari keseluruhan”). Jadi, kita hitung $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Cara mudahnya, 60.000 dibagi dulu dengan seratus, lalu hasilnya dikalikan 35. Pada dasarnya kita melakukan perhitungan ini:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Kita bisa membayangkannya begini: pertama, kita hitung banyak penduduk yang sesuai dengan satu persen, yaitu $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Satu persen sesuai dengan 600 penduduk. Kita ingin mengetahui 35% penduduk, jadi 600 penduduk ini tinggal dikalikan: 35 · 600 = 21.000.

2. Penghasilan rata-rata Budi adalah 500 ribu rupiah per hari. Hari ini dia hanya mendapat 75% dari penghasilan rata-ratanya. Berapa penghasilan Budi hari ini? Caranya tetap sama. Keseluruhannya 500, dan 75% kita ubah menjadi pecahan $\frac{75}{100}$. Pecahan ini masih bisa disederhanakan menjadi $\frac{3}{4}$. Keseluruhan kita kalikan dengan pecahan ini:

   $$\frac{3}{4}\cdot 500=\frac{3\cdot 500}{4}=3\cdot 125=375$$

   Jadi, hari ini Budi mendapat 375 ribu rupiah, yaitu Rp375.000.

3. Keesokan harinya Budi lebih beruntung dan mendapat 150% dari penghasilan rata-ratanya. Berapa penghasilannya? Apakah bisa lebih dari 100%, padahal kita sudah mengatakan bahwa 100% adalah keseluruhan? Ya, bisa. Seperti seseorang bisa mendapat “tiga kali lipat penghasilan rata-ratanya”, seseorang juga bisa mendapat 150% dari rata-ratanya.

   Caranya sama persis. 150% kita ubah menjadi pecahan $\frac{150}{100}$, lalu penghasilan rata-rata Budi, yaitu 500, kita kalikan dengan pecahan ini:

   $$\frac{150}{100}\cdot 500=\frac{150\cdot 500}{100}=\frac{150\cdot 5}{1}=150\cdot 5=750$$

   Hari itu Budi mendapat Rp750.000.

Persen dengan perbandingan senilai

Bagian dari keseluruhan yang dinyatakan dalam persen mudah diubah menjadi perbandingan senilai. Kita tetap memakai contoh Budi, yang rata-rata berpenghasilan 500 ribu rupiah per hari dan hari ini mendapat 75% dari penghasilan rata-ratanya. Dengan perbandingan senilai, hal ini bisa ditulis seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 500\text{ ribu rupiah}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ ribu rupiah}\end{array}$$

Karena perbandingannya senilai, kita peroleh bentuk:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{500}$$

Kedua ruas persamaan kita kalikan 500:

$$\frac{75\cdot 500}{100}=x$$

Dari sini hasilnya mudah dihitung:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 500}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 5}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 5\\ x& =& 375\end{array}$$

Terlihat bahwa hasilnya sama.

Bagaimana jika bagiannya diketahui, tetapi keseluruhannya tidak?

Pada contoh-contoh sebelumnya, kita selalu mengetahui nilai keseluruhan dengan tepat, lalu menghitung suatu bagian yang dinyatakan dalam persen. Bagaimana jika yang kita ketahui justru bagiannya, sedangkan keseluruhannya tidak? Contoh: Budi punya 120 kartu ajaib bergambar monster hijau besar. Walaupun jumlah kartu monster hijau itu cukup banyak, kartu Budi hanya enam puluh persen dari kartu Siti. Berapa banyak kartu Siti?

Di sini bagiannya diketahui, tetapi keseluruhannya belum, dan itulah yang harus kita hitung. Kita tahu bahwa 120 kartu sesuai dengan 60% kartu milik Siti. Untuk mengetahui berapa kartu yang sesuai dengan satu persen, kita cukup membagi seratus dua puluh dengan enam puluh. Kita peroleh 120/60 = 2. Satu persen kartu ternyata sama dengan dua kartu monster hijau. Karena yang kita hitung adalah keseluruhan, dan keseluruhan selalu 100%, banyak kartu ini kita kalikan seratus. Hasilnya 200 kartu, dan itulah jawaban yang benar.

Kita bisa memeriksanya dengan menghitung 60% dari 200. Cukup kita kalikan

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Terlihat bahwa 60% dari 200 sama dengan 120, tepat sebanyak kartu monster hijau milik Budi.

Penjumlahan persen

Jika kita harus menghitung soal yang memuat persen, cara terbaik selalu menghitung nilai sebenarnya terlebih dahulu, bukan persennya, lalu menjumlahkan nilai-nilai itu. Misalnya, soalnya berbunyi seperti ini: Andi bergaji Rp15.000.000, Agus Rp20.000.000, dan Rina Rp25.000.000 per bulan. Hitunglah gaji Dewi, yang mendapat 30% gaji Andi ditambah 40% gaji Agus ditambah 25% gaji Rina.

Di sini ada tiga bentuk persen, tetapi masing-masing dihitung dari keseluruhan yang berbeda. Andi, Agus, dan Rina masing-masing mendapat gaji yang berbeda. Jadi, pertama kita hitung 30% gaji Andi. Satu persennya adalah 15.000.000/100 = 150.000. Lalu kita kalikan 150.000 · 30 dan memperoleh 4.500.000. Berikutnya 40% gaji Agus. Satu persennya adalah 20.000.000/100 = 200.000. Hasil ini kita kalikan 40 dan memperoleh 200.000 · 40 = 8.000.000. Bagian terakhir adalah 25% dari gaji Rina. Gajinya 25.000.000, dan satu persennya adalah 25.000.000/100 = 250.000. Dengan mengalikan 25 kita peroleh 250.000 · 25 = 6.250.000. Sekarang tinggal menjumlahkan semua hasil parsial: 4.500.000 + 8.000.000 + 6.250.000 = 18.750.000. Gaji Dewi Rp18.750.000, cukup lumayan.

Namun, bisa saja kita memang perlu menjumlahkan persen. Persen hanya boleh dijumlahkan jika nilai awalnya sama, yaitu keseluruhannya sama. Jadi, jika misalnya Rizky mendapat 20% gaji Agus ditambah 30% gaji Agus, persen-persen itu boleh dijumlahkan, karena dasarnya sama: kedua bentuk dihitung dari gaji Agus. Hasilnya 20% + 30% = 50%. Rizky mendapat setengah gaji Agus, yaitu sepuluh juta rupiah.

Jebakan kenaikan persen bertingkat

Sekarang bayangkan situasi berikut. Pada tahun pertama, gaji Putri Rp10.000.000 per bulan. Pada tahun kedua, dia mendapat kenaikan gaji sebesar 30%. Pada tahun berikutnya, tahun ketiga, gajinya naik lagi, kali ini hanya 10%. Berapa gaji Putri sekarang?

Soal seperti ini sangat menggoda kita untuk menjumlahkan persennya seperti pada contoh sebelumnya. Bukankah kita tampaknya tetap menghitung dari dasar yang sama, yaitu gaji Putri? Jadi, kita hitung 30% + 10% dan tambahkan pada gaji awalnya. Dengan begitu, gaji Putri menjadi Rp14.000.000. Padahal tidak begitu. Mari kita periksa.

Pada tahun pertama, gajinya 10.000.000. Pada tahun kedua, gajinya 10.000.000 + 30%, yaitu 13.000.000, seperti yang pasti bisa kamu hitung sendiri. Pada tahun berikutnya, gajinya naik sepuluh persen. Tetapi hati-hati! Dasarnya bukan lagi sepuluh juta seperti pada tahun pertama. Dasarnya sudah tiga belas juta! Seperti yang kita ketahui, persen hanya boleh dijumlahkan jika dihitung dari dasar yang sama. Dalam kasus kita, dasarnya berbeda. Pertama 10.000.000, lalu 13.000.000. Jadi, pada tahun terakhir gaji Putri adalah 13.000.000 + 10%, yaitu 14.300.000.

Jawaban 14.000.000 itu salah, dan kita juga merugikan Putri sebesar Rp300.000 per bulan. Jangan begitu pada Putri!

Belilah buku matematika saat diskon!

Contoh klasik lainnya adalah diskon. Bayangkan sebuah toko menjual buku matematika yang sangat kamu inginkan sebagai hadiah ulang tahun. Memangnya hadiah apa lagi yang lebih kamu inginkan, bukan? :-)

Menjelang Lebaran, harga buku itu naik 20 %. Kamu memutuskan untuk menunggu dan membelinya setelah Lebaran. Keputusanmu tepat, karena setelah Lebaran toko itu memberi diskon 20 % untuk buku tersebut. Pertanyaannya: apakah harga buku itu sekarang sama dengan harga sebelum naik? Atau lebih mahal, atau lebih murah?

Akal sehat sebagian orang lagi-lagi mengatakan bahwa harganya sama, tetapi itu tidak benar. Mari kita hitung. Misalkan harga buku itu Rp100.000. Kenaikan 20% berarti buku itu menjadi lebih mahal $\frac{20}{100}\cdot 100.000=20.000$ rupiah. Jadi, harganya Rp120.000.

Akan tetapi, diskon 20% tidak lagi dihitung dari dasar 100.000, melainkan dari dasar 120.000! Artinya, harga buku turun $\frac{20}{100}\cdot 120.000=24.000$ rupiah. Setelah diskon, harga buku itu Rp96.000.

(Tapi sejujurnya, untuk apa membeli buku matematika kalau ada situs ini? ;-))

Permil

Permil sering dipakai, misalnya, untuk menyatakan kadar garam (salinitas) air laut. Sebagian orang keliru mengira bahwa permil adalah seperseribu dari satu persen, tetapi itu salah, jadi hati-hati. Permil adalah seperseribu dari keseluruhan. Selebihnya, permil dihitung dengan cara yang sama persis seperti persen. Jika kamu ingin mengetahui x permil dari 5000, hitunglah $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Penyebut pecahannya 1000, bukan 100. Jadi, tiga permil dari 5000 adalah $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Permil ditulis dengan lambang ‰. Berlaku $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Penjelasan lebih lanjut ada di artikel tersendiri tentang permil.

Penulisan persen

Dalam bahasa Indonesia, tanda persen ditulis langsung setelah angka, tanpa spasi: “100%”, “25%”. Hal yang sama berlaku untuk permil: “3‰”. Ingatlah hal ini saat menulis, tetapi jangan terlalu kesal jika di surat kabar ada yang menulisnya keliru :-).

Poin persentase

Selain persen biasa, ada juga poin persentase. Apa bedanya? Bayangkan dua tahun lalu sebuah aplikasi peta dipakai oleh 20 % orang, sedangkan tahun ini sudah dipakai oleh 30% orang. Berapa kenaikannya selama dua tahun itu? Salah jika kita mengatakan bahwa kenaikannya sepuluh persen. Jika awalnya aplikasi itu dipakai oleh 20% orang dan kemudian oleh 30%, artinya sekarang pemakainya bertambah setengahnya dibandingkan sebelumnya. Itu berarti kenaikan lima puluh persen.

Namun, agak janggal juga mengatakan bahwa kenaikannya 50%, padahal akan lebih mudah dipahami jika kita mengatakan bahwa persentasenya naik sepuluh. Untuk itulah ada poin persentase. Dalam kasus ini, kita bisa mengatakan bahwa jumlah pemakai aplikasi peta itu naik sepuluh poin persentase. Poin persentase dipakai ketika kita ingin menyatakan selisih sederhana antara dua nilai persentase.