기하평균

새 자동차, 예를 들어 포드 머스탱을 사고 싶다고 하자. 오랫동안 눈여겨보면서 해마다 값이 지난해보다 얼마나 올랐는지 적어 둔다. 첫해에 자동차는 1억 원이었는데, 이듬해에 25% 올랐고, 그다음 해에 5%, 넷째 해에 10%, 그리고 지금 다섯째 해에 20% 올랐다. 지금 자동차가 얼마인지는 퍼센트를 값의 몇 배인지로 바꾸어 구할 수 있다. 즉 “25% 오름”을 “원래 값 곱하기 1.25”로 쓴다. 그러면 포드 머스탱의 지금 값은 다음과 같다.

$$100000000\cdot 1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=173250000$$

5년 뒤 머스탱의 값은 173,250,000원이다. 이제 자동차 값은 해마다 평균 몇 %씩 올랐을까?라고 물을 수 있다. 첫해에는 1.25배, 둘째 해에는 1.05배, 이렇게 올랐다. 평균적으로는 얼마나 올랐을까? 보통의 산술평균을 쓰면 엉뚱한 답이 나온다. 값 1.25, 1.05, 1.1, 1.2의 산술평균은 다음과 같다.

$$\frac{1.25+1.05+1.1+1.2}{4}=\frac{4.6}{4}=1.15$$

이번에는 값이 4년 동안 해마다 1.15배씩 올랐다고 하고 자동차 값을 구해 보자.

$$100000000\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15=174900625$$

다른 수가 나왔다! 따라서 1.15(즉 15% 상승)는 올바른 연평균 상승률이 아니다. 산술평균으로는 이 질문에 답할 수 없다. 기하평균을 써야 한다.

기하평균 구하기

5년 동안 자동차 값은 몇 % 올랐을까? 오른 배수를 모두 곱해서 구한다.

$$1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=1.7325$$

즉 포드 머스탱의 값은 4년 뒤에 1.7325배가 되었다. 이제 질문은 이것이다. 어떤 수를 네 번 곱하면 1.7325가 될까? 답은 1.7325의 네제곱근이다. 계산해 보자.

$$\sqrt[4]{1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2}=\sqrt[4]{1.7325}\fallingdotseq 1.147277$$

이제 자동차 값에 이 수를 네 번 곱해 보자.

$$100000000\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}=173250000$$

이제 맞는다. 따라서 수 $\sqrt[4]{1.7325}$가 올바른 연평균 상승 배수이다.

기하평균의 공식

n개의 수 x₁, x₂, …, x_n이 있으면 기하평균 G는 다음과 같이 구한다.

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

같은 식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

예를 들어 수 1, 2, 3, 4, 5의 기하평균은 다음과 같이 구한다.

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\fallingdotseq 2.6$$