Teorema Thales
Teorema Thales menyatakan bahwa setiap segitiga yang pusat lingkaran luarnya terletak pada salah satu sisinya adalah segitiga siku-siku. Dengan kata lain, sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90°.
Segitiga dengan sisi miring sebagai diameter lingkaran
Dahulu kala, Thales dari Miletos menemukan sifat menarik segitiga. Lukislah segitiga beserta lingkaran luarnya sehingga pusat lingkaran membagi dua sisi miring (sisi terpanjang) segitiga. Perhatikan gambar berikut:
Pada gambar terdapat lingkaran k yang berpusat di titik O. Lingkaran ini adalah lingkaran luar segitiga ABC, artinya melalui semua titik sudut segitiga. Sifat yang penting adalah sisi miring melalui pusat lingkaran, yaitu titik O.
Akibatnya, sudut dalam ABC besarnya selalu 90°, yaitu sudut siku-siku.
Ke mana pun titik sudut B digeser sepanjang lingkaran, sudut di titik sudut ini selalu siku-siku. Beberapa contoh lain:
Bukti
Mari kita tunjukkan mengapa segitiga pada lingkaran ini selalu siku-siku. Gambar pertama sedikit kita ubah:
Segitiga OCB dan AOB adalah segitiga sama kaki, karena masing-masing memiliki dua sisi yang sama panjang. Pada segitiga OCB, sisi-sisi itu adalah OC dan OB, karena panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Pada segitiga yang lain, sisi-sisinya adalah OA dan OB.
Karena itu, sudut BCO dan sudut OBC sama besar, yang pada gambar ditandai dengan huruf β. Hal yang sama berlaku pada segitiga yang lain, dan di sana sudutnya ditandai dengan huruf α.
Selain itu, kita tahu bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu 180°. Sekarang kita nyatakan jumlah sudut segitiga ABC dengan sudut α dan β. Haruslah
Sudut α yang pertama adalah sudut CAB, dan sudut α yang kedua adalah sudut ABO. Demikian pula untuk sudut β. Persamaan tadi sedikit kita ubah:
Kedua ruas persamaan kita bagi dua:
Bukti selesai. Kita tahu bahwa jumlah sudut α + β sama dengan 90, dan kita tahu bahwa sudut α dan β bersama-sama membentuk sudut dalam ABC yang sedang kita selidiki.
Tautan
Daftar isi: Lingkaran, Teorema Thales