Volume dan luas
Pertama, sedikit teori secara singkat, untuk berjaga-jaga jika ada yang belum tahu. Keliling suatu bangun adalah jumlah panjang semua sisinya, dinyatakan dalam meter dan satuan turunannya. Keliling biasanya ditandai dengan huruf K. Luas suatu bangun adalah ukuran daerah yang dibentuk bangun tersebut, dihitung dalam meter persegi. Secara matematis, meter persegi ditulis dengan angka dua sebagai pangkat: m2. Luas biasanya ditulis dengan huruf L. Volume adalah ruang yang ditempati suatu bangun ruang. Secara sederhana, volume menyatakan berapa banyak air yang dapat dituangkan ke dalamnya. Volume dihitung dalam meter kubik dan satuan turunannya, dan satuan ruang ditulis dengan angka tiga sebagai pangkat: m3. Volume biasanya ditulis dengan huruf V. Luas dan volume juga dapat dinyatakan dalam satuan lain yang mungkin lebih sering dipakai sehari-hari, seperti are atau hektare untuk luas dan liter untuk volume. Secara umum, luas dan volume dapat dihitung dengan integral.
Persegi dan persegi panjang
Kedua bangun ini berdimensi dua, jadi di sini hanya ada keliling dan luas. Persegi adalah yang paling sederhana, karena menurut definisinya semua sisinya sama panjang. Jadi, untuk menghitung keliling persegi, cukup ambil panjang satu sisi lalu kalikan dengan empat (banyaknya sisi): K=4a. Keliling persegi panjang hanya sedikit lebih rumit. Persegi panjang selalu memiliki dua pasang sisi yang sama panjang, sehingga ada dua cara: jumlahkan saja semua sisinya, atau ambil panjang dua sisi yang berbeda, kalikan masing-masing dengan dua, lalu jumlahkan: K=2a+2b.
Luas persegi sama sekali tidak lebih sulit daripada kelilingnya. Kalikan panjang satu sisi dengan sisi lainnya. Karena semua sisi persegi sama panjang, diperoleh rumus: L = a·a = a2. Persegi panjang bekerja persis seperti persegi, hanya saja sisi-sisinya tidak semuanya sama panjang. Karena itu, kamu harus mengalikan dua sisi berbeda yang saling tegak lurus: L=a·b.
Jajargenjang
Jajargenjang adalah bangun yang mirip persegi panjang, tetapi dua sisinya yang berhadapan miring, lihat gambar di bawah paragraf ini. Keliling jajargenjang mudah dihitung dan pada dasarnya sama seperti pada persegi panjang: K=2a+2b. Namun, luasnya sedikit lebih menarik. Untuk menghitung luas jajargenjang, kita harus mengubahnya menjadi persegi panjang. Cara mengubahnya ditunjukkan pada gambar berikut:
Pertama, kita potong bagian jajargenjang yang menonjol (bagian yang diwarnai), lalu kita tempelkan di sisi seberangnya, sehingga terbentuk persegi panjang:
Baru sekarang luas jajargenjang mudah dihitung, dan rumusnya sama seperti pada persegi panjang. Namun, mengubah jajargenjang dengan menggambar seperti ini tidak praktis, jadi digunakan rumus sederhana yang berasal dari pengubahan tersebut. Sisi a sama pada persegi panjang maupun pada jajargenjang, yang berbeda hanya sisi kedua. Jadi, pada jajargenjang, sebagai pengganti sisi b kita menggunakan tinggi jajargenjang, yang sama dengan sisi b pada persegi panjang hasil pengubahan. Gambar berikut menunjukkannya dengan jelas (yang dikalikan adalah sisi-sisi berwarna merah):
Rumusnya sebagai berikut: L=ta·a.
Trapesium
Kelilingnya jelas: jumlahkan semua sisinya. Luas trapesium sedikit lebih sulit. Secara teori, kita bisa melakukan cara yang sama seperti pada jajargenjang, tetapi kita tidak tahu apakah harus mengambil sisi yang lebih panjang (AB) atau yang lebih pendek (CD).
Karena itu, digunakan sebuah trik: kita hitung rata-rata panjang kedua sisi sejajar, lalu nilai itulah yang dipakai. Jadi, panjang sisi AB dan CD dijumlahkan dan dibagi dua, lalu dihitung seperti pada jajargenjang, yaitu dikalikan dengan tinggi, dan diperoleh luasnya. L=(a+c)/2 · ta.
Segitiga
Segitiga adalah bangun berdimensi dua, sehingga kita dapat menghitung keliling dan luasnya, tetapi segitiga tidak memiliki volume. Keliling segitiga dihitung dengan menjumlahkan semua sisinya. Jadi, rumus umumnya seperti ini: K=a+b+c. Tentu ada kasus khusus. Misalnya, jelas bahwa semua sisi segitiga sama sisi sama panjang, sehingga cukup mengetahui panjang satu sisi lalu mengalikannya dengan tiga. Rumusnya menjadi seperti ini: K'=3a.
Untuk luas segitiga, kita perlu sedikit mengubah bentuknya. Agar luas segitiga dapat dihitung, kita harus mengubahnya menjadi jajargenjang (mirip dengan saat kita mengubah jajargenjang menjadi persegi panjang). Cara mengubah segitiga menjadi jajargenjang lagi-lagi ditunjukkan oleh gambar berikut:
Dari gambar ini seharusnya sudah jelas cara menghitung luas segitiga: hitunglah seperti menghitung luas jajargenjang, lalu bagi hasilnya dengan dua: L=(tc·c)/2
Lingkaran
Lingkaran adalah bangun yang istimewa, karena keliling maupun luasnya tidak dapat dituliskan secara tepat sebagai bilangan desimal. Apa pun yang ingin kita hitung pada lingkaran, hampir selalu diperlukan konstanta pi, yaitu π. Bentuk desimal π tidak berhingga, karena π adalah bilangan irasional. Namun, nilai hampiran yang biasanya dipakai (jika nilainya tidak tersimpan di kalkulatormu) adalah 3,14.
Sekarang mari kita lihat rumus-rumusnya. Sejak zaman dahulu, para pemikir berusaha mengetahui cara menghitung keliling lingkaran, yaitu panjang lingkaran sebagai garis lengkung. (Lingkaran sebagai garis lengkung tidak memiliki bagian dalam, sehingga juga tidak memiliki luas. Yang memiliki luas adalah daerah lingkaran, yaitu lingkaran beserta bagian dalamnya.) Diketahui bahwa perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya (yang mudah diukur) selalu sama, dan lama-kelamaan dihitung pula berapa kali keliling lingkaran lebih besar daripada diameternya. Ternyata tepat pi kali. Jadi, keliling lingkaran dihitung dengan K=π·d=2·π·r (rumus kedua yang sedikit lebih rumit lebih sering dipakai, karena biasanya jari-jarinya yang diketahui, bukan diameternya), dengan d diameter dan r jari-jari lingkaran.
Luas lingkaran adalah L=π·r2, dan rasanya tidak ada lagi yang perlu ditambahkan :-).
Kubus dan balok
Inilah bangun ruang pertama, sehingga untuk bangun ini kita menentukan luas permukaan dan volume. Kubus memiliki enam sisi, dan semua sisinya berbentuk persegi, jadi caranya jelas: hitung luas satu sisi, lalu kalikan dengan enam. Lp=6a2. Pada balok, perhitungannya lebih panjang, karena balok memiliki beberapa sisi yang berbeda. Pada dasarnya, cukup hitung luas tiga sisi yang berbeda, jumlahkan, lalu kalikan dengan dua, dan diperoleh luas permukaan balok: Lp=(a·b + b·c + a·c)·2.
Volume kubus dihitung persis seperti luas persegi, hanya saja kita tidak boleh lupa bahwa kita berada di ruang. Singkatnya, cukup pangkatkan tiga panjang rusuknya: V=a3. Pada balok caranya serupa, hanya saja ketiga rusuk harus dikalikan satu per satu, karena panjangnya berbeda: V=a·b·c.
Bola
Luas permukaan bola dihitung dengan Lp=4·π·r2, dan volume bola adalah V=4/3·π·r3. Penurunan rumus volume bola yang cukup rumit menggunakan prinsip Cavalieri.
Tabung
Luas permukaan tabung dihitung sebagai jumlah luas kedua alas dan luas selimutnya. Alasnya berupa lingkaran biasa, jadi luas satu alas sama dengan luas lingkaran:
Selimut tabung tidak lain adalah persegi panjang yang “digulung”. Panjang salah satu sisinya sama dengan tinggi tabung (kita sebut t), sedangkan sisi lainnya sama dengan keliling lingkaran alas. Jadi, luas selimutnya adalah:
Luas permukaan seluruh tabung adalah:
Volume tabung lebih sederhana, yaitu tinggi dikalikan dengan luas alas. Luas alas sudah kita hitung pada langkah sebelumnya. Hasilnya:
Limas dan kerucut
Luas permukaan limas secara umum dihitung sebagai jumlah luas alas dan luas semua sisi tegaknya. Rumus umumnya tidak ada. Volume limas ada hubungannya dengan perhitungan luas segitiga: luas alas dikalikan dengan tinggi limas, lalu hasilnya dibagi tiga, dan diperoleh volume limas. V=(La · t)/3, dengan La luas alas.
Luas permukaan kerucut sama dengan jumlah luas alas dan luas selimut. Luas alasnya jelas, karena alasnya lingkaran biasa: La=π·r2. Luas selimutnya sedikit lebih rumit. Bayangkan selimut itu “dibentangkan” di atas meja, sehingga terbentuk semacam juring yang luasnya: Ls=π·r·s, dengan s garis pelukis (jarak dari puncak kerucut ke tepi alas, kurang lebih mirip rusuk tegak pada limas). Volume kerucut adalah V=(π · r2 · t)/3, dengan t tinggi kerucut.
Contoh soal luas
Hitunglah luas bangun berikut (anggap satuan pada sumbu dalam meter):
Sekilas terlihat bahwa bangun ini semacam segi banyak sembarang, dan tidak ada rumus yang dapat diterapkan pada bangun ini secara utuh. Jadi, kita harus membaginya menjadi bagian-bagian kecil yang luasnya dapat kita hitung. Cara termudah adalah menjadikan bagian bawah sebagai segitiga dan bagian atas sebagai trapesium. Pembagiannya ditunjukkan pada gambar berikut:
Sekarang kita hitung luas segitiga ABE dengan rumus L=(a · ta)/2. Dalam hal ini, sisi a adalah sisi AE, dan tinggi pada sisi ini adalah sisi EB. Terlihat bahwa |AE|=3 m dan |EB|=1 m. Dengan menyubstitusikan ke rumus, diperoleh: L=(3 · 1)/2=1,5 m2.
Pada langkah kedua, kita hitung luas trapesium dengan rumus L=(a+c)/2 · ta. Dalam hal ini, sisi a adalah sisi AE dan sisi c adalah sisi DC. Tingginya juga mudah dibaca dari gambar, yaitu panjang ruas garis EC. Dengan menyubstitusikan ke rumus, diperoleh: L=(3+2)/2 · 2=5 m2.
Kedua hasil sementara tadi tinggal dijumlahkan, dan diperoleh luas bangun tersebut. L=1,5 m2 + 5 m2 = 6,5 m2.
Hitunglah luas bangun berikut (anggap satuan pada sumbu dalam meter):
Sekilas pun terlihat bahwa satu rumus tidak akan cukup dan bangun ini harus diubah dengan cara tertentu. Kita akan menghitungnya sebagai berikut: hitung luas “persegi”, tambahkan tiga perempat luas lingkaran, lalu kurangi dengan luas segitiga kecil di kiri bawah:
Luas persegi mudah dihitung: L1 = 2 · 2 = 4 m2. Pada langkah kedua, kita hitung luas lingkaran. Sekali lagi, kita tinggal menyubstitusikan ke rumus dan menghitung L2 = π · 12 · 3/4 = 3π/4. Tinggal menghitung luas segitiga DEI dan mengurangkannya dari luas persegi. Sisi EI dan tingginya DI sama-sama panjangnya 1 m, jadi luas segitiga adalah L3 = ½.
Pada langkah terakhir, hasil-hasil sementara dijumlahkan dan dikurangkan: L = L1 + L2 − L3 = 3,5 m2 + 3π/4 m2.