Теорема на Талес за окръжност
Теоремата на Талес за окръжност гласи, че всички триъгълници, на които центърът на описаната окръжност лежи на една от страните им, са правоъгълни. С други думи: вписан ъгъл, който се опира на диаметър, е прав. Внимание: в българското училище „теорема на Талес“ обикновено се нарича друга теорема – за пропорционалните отсечки между успоредни прави. Затова тук уточняваме, че говорим за теоремата за окръжност.
Описание на окръжността с диаметър хипотенузата
Талес от Милет е открил преди много време интересно свойство на триъгълника. Нека построим триъгълник и описаната му окръжност така, че центърът на тази окръжност да разполовява най-дългата страна на триъгълника. Погледни следната фигура:
На фигурата имаме окръжност k с център в точката O. Тази окръжност е описана около триъгълника ABC, т.е. минава през всичките му върхове. Важното свойство е, че най-дългата страна минава през центъра на окръжността, т.е. през точката O.
Тогава вътрешният ъгъл ABC винаги е с мярка 90°, т.е. ъгълът е прав.
Където и да преместим върха B по окръжността, при този връх винаги получаваме прав ъгъл. Още няколко примера:
Доказателство
Ще покажем защо триъгълникът, вписан в такава окръжност, е винаги правоъгълен. Малко ще преработим първата фигура:
Триъгълниците OCB и AOB са равнобедрени, защото във всеки от тях две страни са с еднаква дължина. При триъгълника OCB това са страните OC и OB, защото дължината им е равна на радиуса на окръжността. При другия триъгълник това са страните OA и OB.
Затова мярката на ъгъл BCO и на ъгъл OBC е една и съща, на фигурата означена с буквата β. Същото е и при другия триъгълник, там е означена с буквата α.
Освен това знаем, че сборът на ъглите в триъгълника винаги трябва да е 180°. Сега изразяваме сбора на ъглите в триъгълника ABC чрез ъглите α и β. Трябва да е изпълнено
Единият ъгъл α е ъгълът CAB, другият ъгъл α – ъгълът ABO. Същото важи и за ъгъл β. Преобразуваме още малко предишното равенство:
Разделяме равенството на две:
И доказателството е готово. Знаем, че сборът на ъглите α + β е равен на 90 и знаем, че сборът на ъглите α и β ни дава търсения вътрешен ъгъл ABC.
Връзки и източници
Глави: Окръжност, Теорема на Талес за окръжност