Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Mọi tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh đều là tam giác vuông. Nói cách khác, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (ở Séc, định lí này gọi là định lí Thales).

Đường tròn đường kính cạnh huyền

Từ rất lâu, Thales xứ Miletus đã phát hiện ra một tính chất thú vị của tam giác. Vẽ một tam giác và đường tròn ngoại tiếp của nó sao cho tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền (cạnh dài nhất) của tam giác. Hãy xem hình sau:

Trên hình có đường tròn k tâm O. Đường tròn này ngoại tiếp tam giác ABC, tức là đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Tính chất quan trọng là cạnh huyền đi qua tâm của đường tròn, tức là đi qua điểm O.

Khi đó góc trong ABC luôn bằng 90°, tức là góc vuông.

Dù di chuyển đỉnh B đến bất kì vị trí nào trên đường tròn, góc ở đỉnh này vẫn luôn là góc vuông. Một vài ví dụ khác:

Chứng minh

Ta chứng minh vì sao tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính luôn là tam giác vuông. Chỉnh lại hình đầu tiên một chút:

Hai tam giác OCB và AOB là tam giác cân, vì mỗi tam giác có hai cạnh bằng nhau. Ở tam giác OCB đó là các cạnh OC và OB, vì độ dài của chúng bằng bán kính đường tròn. Ở tam giác còn lại đó là các cạnh OA và OB.

Do đó góc BCO và góc OBC bằng nhau, trên hình kí hiệu bằng chữ β. Ở tam giác thứ hai cũng vậy, kí hiệu bằng chữ α.

Ta còn biết tổng các góc trong tam giác luôn bằng 180°. Bây giờ biểu diễn tổng các góc của tam giác ABC qua các góc α và β. Ta có

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Một góc α là góc CAB, góc α thứ hai là góc ABO. Góc β cũng tương tự. Biến đổi phương trình trên một chút:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Chia hai vế cho 2:

$$\alpha +\beta =90$$

Chứng minh xong. Ta biết tổng α + β bằng 90, và tổng hai góc α và β chính là góc trong ABC đang xét.