탈레스의 정리

탈레스의 정리에 따르면, 외접원의 중심이 한 변 위에 있는 삼각형은 모두 직각삼각형이다. 한국의 교과서에서는 이를 “반원에 대한 원주각은 직각이다”라고 배운다.

탈레스의 원

밀레토스의 탈레스는 오래전에 삼각형의 흥미로운 성질을 발견했다. 삼각형과 그 외접원을 그리되, 외접원의 중심이 삼각형의 빗변(가장 긴 변)을 이등분하도록 그려 보자. 다음 그림을 보자.

그림에 중심이 점 O인 원 k가 있다. 이 원은 삼각형 ABC의 외접원이다. 즉 삼각형의 모든 꼭짓점을 지난다. 중요한 것은 빗변이 원의 중심, 즉 점 O를 지난다는 것이다.

그러면 내각 ABC는 언제나 90°, 즉 직각이다.

꼭짓점 B를 원 위의 어디로 옮겨도 이 꼭짓점의 각은 언제나 직각이다. 몇 가지 예를 더 보자.

증명

탈레스의 원 안의 삼각형이 왜 언제나 직각삼각형인지 이끌어 내 보자. 첫 번째 그림을 조금 바꾼다.

삼각형 OCB와 AOB는 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다. 삼각형 OCB에서는 변 OC와 OB의 길이가 원의 반지름과 같다. 다른 삼각형에서는 변 OA와 OB이다.

그래서 각 BCO와 각 OBC의 크기가 같고, 그림에서는 β로 나타냈다. 다른 삼각형도 마찬가지이고, 그림에서는 α로 나타냈다.

또 삼각형의 세 각의 합은 언제나 180°이다. 이제 삼각형 ABC의 세 각의 합을 각 α와 β로 나타내자. 다음이 성립해야 한다.

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

각 α 하나는 각 CAB이고, 다른 각 α는 각 ABO이다. 각 β도 마찬가지이다. 앞의 식을 조금 정리한다.

$$2\alpha +2\beta =180$$

양변을 2로 나눈다.

$$\alpha +\beta =90$$

이것으로 증명이 끝났다. 각의 합 α + β는 90이고, 각 α와 β를 더하면 구하려던 내각 ABC가 된다.