직선의 법선벡터

직선 p의 법선벡터는 직선 p에 수직인 벡터이고, 그 성분은 직선의 방정식의 일반형에서 나온다.

일반형의 계수가 뜻하는 것

두 점 A(0, 1), B(2, 5)를 지나는 직선 p가 있다. 이 직선은 함수 y = 2x + 1의 그래프이므로 직선의 방정식의 일반형은 −2x + y − 1 = 0이다. 그림을 보자.

일반형은 ax + by + c = 0 꼴이므로, 이 경우 방정식 −2x + y − 1 = 0에서 a = −2, b = 1, c = −1이다. 계수 a, b에는 어떤 기하적 의미가 있을까? 재미 삼아 그림에 벡터 $\overrightarrow{u}=(a,b)$, 즉 벡터 $\overrightarrow{u}=(-2,1)$을 그려 보자.

이 벡터가 직선 p에 수직이라는 것이 꽤 분명히 보인다. 우연이 아니다. 어떤 직선의 방정식의 일반형 ax + by + c = 0을 택하든 벡터 (a, b)는 이 직선에 수직이다. 이런 벡터를 직선 p의 법선벡터라고 한다.

법선벡터의 성질

두 벡터의 내적의 성질에서, 두 벡터의 내적은 두 벡터가 서로 수직일 때, 그리고 그때에만 0이라는 것을 알고 있다. 직선 p의 방향벡터는 직선 p에 평행하므로, 직선 p의 어떤 방향벡터든 법선벡터에 수직이다. 유향선분 $\overrightarrow{AB}$로 방향벡터를 구하면 다음 벡터를 얻는다.

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

그림으로 나타내면 다음과 같다.

두 벡터의 내적을 조금 가지고 놀아 보자. 다시 떠올리면 내적은 다음과 같이 정의된다.

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

그러면 실수 a, b에 대해 벡터 (a, b)와 (−b, a)의 내적, 그리고 벡터 (a, b)와 (b, −a)의 내적은 언제나 0이라는 것을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

이제 일반형 ax + by + c = 0으로 주어진 직선 p와, 이 직선에 수직인 법선벡터 (a, b)로 돌아가자. 그런데 잠깐! 앞의 성질에 따르면 벡터 (−b, a)와 (b, −a)는 법선벡터와의 내적이 0이다. 그러므로 벡터 (−b, a)와 (b, −a)는 법선벡터에 수직이어야 한다! 그리고 법선벡터는 직선에 수직이므로, 법선벡터에 수직인 벡터는 거꾸로 원래 직선 p에 평행해야 한다! 놀랍지 않은가!

그림에 벡터 ${\overrightarrow{v}}_1=(-b,a)$와 ${\overrightarrow{v}}_2=(b,-a)$를 그려 보자. 직선의 방정식의 일반형이 −2x + y − 1 = 0이므로, 대입하면 초록 벡터 ${\overrightarrow{v}}_1=(-1,-2)$와 ${\overrightarrow{v}}_2=(1,2)$를 얻는다.

법선벡터와 한 점으로 직선의 방정식 구하기

직선의 방정식의 일반형은 매개변수방정식에서 꽤 쉽게 구할 수 있다는 것을 이미 알고 있다. 법선벡터 $\overrightarrow{n}$을 알 때도 일반형을 쉽게 구할 수 있다. 직선 p가 지나는 점 A(5, 13)과 직선의 법선벡터 $\overrightarrow{n}=(4,-6)$이 있다고 하자. 직선 p의 방정식의 일반형은 ax + by + c = 0이고, 법선벡터의 정의에서 계수 a, b를 바로 정할 수 있다. 계수는 법선벡터의 성분과 같은 a = 4, b = −6이다. 직선의 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$$4x-6y+c=0$$

계수 c만 구하면 된다. 직선 p를 나타내는 이 방정식은 직선 p 위의 모든 점에서 성립해야 한다. 즉 x, y에 직선 p 위의 점의 좌표를 대입하면 방정식이 성립해야 한다. 그래서 직선 p가 분명히 지나는 점 A를 대입하기만 하면 된다. 점 A의 좌표는 A(5, 13)이므로 방정식 4x − 6y + c = 0에 x = 5, y = 13을 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

직선 p의 방정식의 일반형 전체는 다음과 같다.

$$4x-6y+58=0.$$

직선 p의 방향벡터 두 개는 ${\overrightarrow{u}}_1=(6,4)$와 ${\overrightarrow{u}}_2=(-6,-4)$이다.