Che cos’è una funzione

La funzione è un concetto assolutamente fondamentale in matematica, che dovresti capire a fondo. La matematica è intessuta di funzioni, e quasi ogni simbolo che conosci fin dalle scuole elementari rappresenta in realtà una funzione.

Analogia della funzione

Hai mai visto un distributore automatico di caffè? Che cosa lo caratterizza? Che inserisci qualche moneta e il distributore ti sputa fuori un caffè. Se ne inserisci di più, il distributore risponde con un caffè migliore.

La funzione è una specie di distributore di caffè matematico. Nella funzione inserisci un ingresso (le monete) e la funzione restituisce un’uscita (il caffè). Questo è tutto il principio di base della funzione.

Il compito di una funzione è prendere un ingresso, un numero, fare qualcosa con questo numero al suo interno, cambiarlo e poi restituire in uscita il nuovo numero.

Concetti di base

Ogni funzione ha un nome che la identifica. Il nome più comune per una funzione è la lettera «f». Alla funzione serve una regola che stabilisca come deve lavorare, ossia come il distributore deve preparare il caffè. All’inizio possiamo immaginare la funzione come una tabella con due colonne. Nella prima colonna c’è il nostro ingresso (nel distributore sarebbe il valore delle monete) e nella seconda l’uscita della funzione (il caffè).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{ingresso}& \text{uscita}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vediamo che l’uscita è sempre il doppio dell’ingresso, ma non deve per forza essere così. Potremmo avere anche una tabella come questa:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{ingresso}& \text{uscita}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Per cominciare, però, ci basta la prima tabella, quella regolare. Possiamo dire che questa tabella definisce una funzione f. Che cosa fa la funzione? Noi inseriamo un ingresso, la funzione lo cerca nella prima colonna della tabella e restituisce l’uscita che si trova sulla stessa riga. Se cerchiamo l’uscita della funzione per il numero tre, lo scriveremmo così:

$$f(3)=6$$

Abbiamo trovato la riga in cui l’ingresso è uguale a tre e sulla stessa riga l’uscita era uguale a sei. Valgono inoltre f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 e f(5) = 10. Scrivere tutte le funzioni con delle tabelle può sembrare chiaro per pochi numeri, ma se lavoriamo con molti numeri diventa estremamente scomodo. Ci serve quindi un’altra forma di scrittura: possiamo assegnare la funzione con la sua espressione analitica. Nella nostra tabella l’uscita era il doppio dell’ingresso. Con l’espressione analitica lo scriveremmo così:

$$f(x)=2\cdot x$$

Questa è una semplice funzione lineare, ma per ora non importa. Che cosa ci dice questa espressione? La lettera f indica il nome della funzione, questo lo sappiamo già. L’espressione tra parentesi, cioè la lettera x, indica il parametro della funzione. Nell’analogia con il distributore rappresenterebbe il «valore delle monete inserite». Il parametro della funzione è una variabile in cui viene memorizzato il valore che le passiamo. Se nel distributore (la funzione) inserissimo venti centesimi, nella funzione varrebbe x = 20. Da lì in poi il distributore, ovvero la funzione, lavorerà con questo valore a modo suo.

Poi c’è il segno di uguale e, dopo di esso, c’è l’espressione vera e propria, che ci dice che cosa fare con il valore x. Vediamo che la funzione moltiplica per due il valore ricevuto x. Tutto qui.

Altri esempi di funzioni

A destra può esserci praticamente qualsiasi espressione matematica. Possono esserci anche altre funzioni e condizioni che precisano la definizione. Potremmo definire a parole una funzione, per esempio così: «se l’ingresso è un numero pari, restituisci zero; se l’ingresso è un numero dispari, restituisci uno». Sarà una funzione che restituisce soltanto uno e zero, ma è comunque una funzione.

L’importante è capire che una funzione si può definire in quasi ogni modo. Naturalmente anche la funzione ha le sue regole, ma per ora non sono così importanti; una di esse, tra l’altro, viene illustrata subito nella prossima sezione. La definizione di una funzione non deve per forza avere un senso a prima vista, né seguire un qualche ordine. La funzione può benissimo restituire sempre il doppio del valore, tranne nel caso in cui l’ingresso sia il sette: allora restituisce il nove. Sarà piuttosto insensata, ma anche questa è una funzione.

Possiamo chiamare funzione anche gran parte delle operazioni che facciamo al di fuori della matematica. Per esempio, se conti la lunghezza della parola «gatto», possiamo dire che hai chiamato una funzione di nome «lunghezza della parola» e le hai passato come argomento la parola «gatto». La funzione ha contato le lettere della parola e ha restituito in uscita il numero cinque.

Devi calcolare quanto pagherai di interesse composto su un prestito o su un mutuo? Anche questo lo può fare una funzione. Basta definire una funzione che calcoli l’ammontare degli interessi, per esempio dopo dieci anni. Devi sapere quanti chilometri può ancora percorrere l’auto con un certo numero di litri di benzina? Definisci una funzione! Se l’auto percorre in media, per esempio, 11 chilometri con un litro di benzina, la funzione che calcola quanti chilometri possiamo ancora percorrere si può definire così:

$$\text{percorriamo}(x)=11\cdot x$$

Se ci restano solo 17 litri di benzina, calcoliamo la distanza chiamando la funzione così:

$$\text{percorriamo}(17)=11\cdot 17=187$$

Una funzione è semplicemente qualsiasi cosa che a un certo ingresso restituisca un numero. Restituisci la distanza in linea d’aria da Bologna a una data città, restituisci la durata del brano più lungo di un dato album, restituisci il numero di capelli sulla testa di una data persona, restituisci il numero di zampe di un dato animale, ecc.

Proprietà fondamentale della funzione

Una condizione importantissima per una funzione è che, tornando alla tabella, nella prima colonna, quella dell’ingresso, nessun valore compaia due volte. Se la tabella fosse fatta così:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{ingresso}& \text{uscita}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… non saremmo in grado di dire che cosa deve restituire la funzione se vi inseriamo l’uno:

$$f(1)=?$$

La funzione deve essere definita in modo chiaro: non può succedere che per lo stesso ingresso restituisca due risultati diversi. Semplicemente non si può. Chiediamo alla funzione che con lo stesso ingresso restituisca sempre anche la stessa uscita. Attenzione: questo requisito non riguarda la seconda colonna, quella dell’uscita. Le uscite possono tranquillamente essere uguali, per noi non è un problema. Questa tabella sarebbe valida:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{ingresso}& \text{uscita}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Valutazione di una funzione

Sappiamo già come si chiama ciascuna parte della funzione e più o meno come si definisce una funzione. Ora spieghiamo passo dopo passo come avviene la valutazione di una funzione. Abbiamo dunque la funzione f(x) = 2x. Che cosa succede se nella funzione inseriamo il tre? Inserire il tre nella funzione significa sostituire al parametro della funzione il numero tre. L’argomento della funzione è il tre, quindi al posto di ogni x sostituiamo il tre:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Vediamo già che la funzione sputa fuori il sei, proprio come poco fa la tabella. Quella però si limitava a soli cinque numeri, mentre la nostra nuova definizione riesce a gestirne anche altri:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Questo procedimento, in cui al posto della variabile x sostituiamo valori concreti, si chiama valutazione della funzione o chiamata di funzione, oppure applicazione della funzione. Se dunque diciamo che «chiamiamo la funzione f con argomento 5», vogliamo calcolare il valore f(5), che nel nostro caso sarà f(5) = 2 · 5 = 10.

Altri due termini da ricordare. Ciò con cui chiamiamo la funzione (ciò che sostituiamo al posto di x) si chiama argomento della funzione. Può sembrare un po’ confuso, ma se abbiamo la funzione f(x) e la chiamiamo con il valore tre, f(3), allora x è il parametro della funzione e 3 è l’argomento della funzione. L’argomento è il valore stesso con cui chiamiamo la funzione. Il parametro è la variabile originaria con cui la funzione è definita. È più che altro un dettaglio tecnico.

Un altro termine è il valore della funzione, cioè il valore che la funzione restituisce in uscita. La funzione precedente, chiamata con il numero tre, ha restituito il numero sei. Il numero sei è quindi, in questo caso, il valore della funzione. A parole diremmo: «la funzione f assume nel punto tre il valore sei». Con la parola «punto» si intende in questo contesto di solito l’argomento della funzione.

Le funzioni nella matematica di tutti i giorni

Nella matematica di tutti i giorni compaiono moltissime funzioni che hanno una scrittura molto particolare, tanto che non sembra nemmeno che si tratti di funzioni. Per esempio, il valore assoluto non è altro che una funzione: in ingresso prende un numero e in uscita restituisce lo stesso numero oppure il numero con il segno opposto.

Riconosci sicuramente il simbolo della radice: $\sqrt{}$. Anche questa è una funzione. In ingresso prende un argomento e in uscita restituisce la radice quadrata. Allo stesso modo anche il quadrato x² è una funzione: in ingresso prende un numero e in uscita restituisce il quadrato di quel numero.

È piuttosto importante rendersi conto che la maggior parte di questi simboli magici non è in realtà nulla di più complicato di una funzione qualsiasi. Non guardare il simbolo $\sqrt{}$ come a una strana forma ricurva: guardalo come a una funzione.

Soprattutto chi comincia può infatti restare confuso davanti a un’espressione piena di simboli matematici, con metà dei quali il povero principiante non sa che fare, mentre in realtà si tratta semplicemente di qualche funzione composta. Prendiamo come aiuto questo esempio:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Quando un profano di matematica lo guarda, si gratta la testa e non sa bene che cosa farne. Eppure in quell’espressione sono contenute ben quattro funzioni piuttosto semplici, che vengono applicate una dopo l’altra alla variabile x. Si potrebbe riscrivere con funzioni dotate di nome e annidate così:

$$\text{fattoriale}(\text{radice}(\text{abs}(\text{quadrato}(x))))$$

La scrittura è più lunga, ma per chi non se la cava con i simboli è probabilmente più chiara. Inoltre è del tutto evidente l’ordine in cui le funzioni verranno chiamate una dopo l’altra.

Riepilogo della notazione di una funzione

La funzione ha un nome, che può essere in pratica qualsiasi cosa. Di solito una funzione generica si indica con f. Ogni funzione ha un certo numero di parametri, che scriviamo tra parentesi tonde dopo il nome. Se la nostra funzione f avesse due parametri, la scriveremmo così: f(x, y) oppure f(a, b). Il nome dei parametri in generale non conta.

Alcune funzioni usate spesso hanno un simbolo proprio, per esempio la radice ha il simbolo $\sqrt{}$. Inoltre sen o sen(x) è la funzione seno, |x| è la funzione valore assoluto e x! è la funzione fattoriale.

Se la funzione ha un solo parametro, a volte omettiamo le parentesi, il che a volte può rendere la scrittura più chiara e a volte no. Quindi sen(x) e sen x sono scritture valide della funzione seno.

Quando si parla di parametro della funzione, si parla della lettera x nella scrittura f(x). L’argomento è invece il valore con cui chiamiamo la funzione, quello che sostituiamo al posto di x. Spesso questi due termini si confondono. Il valore della funzione è il valore che otteniamo dopo aver chiamato la funzione. Lo scriviamo semplicemente come nome della funzione, parentesi e argomento. Se abbiamo la funzione f(x) = 2x e al parametro x sostituiamo l’argomento x = 4, diremo che abbiamo chiamato la funzione con l’argomento x = 4 e che il valore della funzione f(4) che ne risulta è uguale a otto.