Funzione pari e dispari

Per le funzioni possiamo stabilire la parità, cioè possiamo determinare se una funzione è pari o dispari. In un caso limite può essere sia pari sia dispari, ma di solito non è né pari né dispari.

Funzione pari

Una funzione è pari se soddisfa una regola semplice: se calcoli la funzione in x e poi in −x, la funzione deve restituire lo stesso valore. Una tipica funzione pari è f(x) = x². Se la calcoli per gli argomenti 6 e −6, ottieni: f(6) = 36 e f(−6) = 36. Gli argomenti differivano solo per il segno, perciò il risultato è lo stesso.

La definizione formale può essere scritta così. Se la funzione f è pari, deve soddisfare

$$\mathrm{\forall }x\in D:f(x)=f(-x)$$

Per ogni x del dominio della funzione deve valere che, anche calcolando la funzione nell’argomento opposto, cioè −x, i valori della funzione sono uguali.

Come si vede una funzione pari nel grafico? Se calcoliamo la funzione in x e in −x, otteniamo lo stesso y. Pensandoci bene: x e −x hanno sull’asse x la stessa distanza dall’origine e hanno la stessa coordinata y. Ciò significa che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y. Come illustrazione, il grafico della funzione x²:

Tra le funzioni più comuni sono pari: il coseno, le funzioni della forma f(x) = x^a, dove a è un numero pari. Da una funzione dispari si ottiene una funzione pari con il valore assoluto, per esempio f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Funzione dispari

Una funzione dispari deve soddisfare regole simili a quelle di una funzione pari. La funzione f è dispari se soddisfa questa regola:

$$\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=-f(x)$$

In pratica significa che, se alla funzione dispari appartiene il punto (a; b), allora le deve appartenere anche il punto con le coordinate opposte, cioè (−a; −b). Un esempio di funzione dispari è f(x) = x³. Se sostituiamo x con 2, otteniamo:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Nella seconda espressione otterremmo

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Come si vede nel grafico? Il grafico deve contenere il punto (a; b) e allo stesso tempo (−a; −b). Se lo disegni, scoprirai che un tale grafico è simmetrico rispetto all’origine del sistema di coordinate, cioè al punto (0; 0). Il grafico della funzione f(x) = x³ è mostrato nella figura seguente.

Tra le funzioni più comuni sono dispari: f(x) = x^a, dove a è dispari, f(x) = ax, dove a è un qualsiasi numero reale (si tratta quindi di una funzione lineare senza termine noto). Inoltre f(x) = a/x oppure il seno.

Verificare se una funzione è pari

Come verifichiamo se una funzione è pari? Dobbiamo usare la definizione. Prendiamo per esempio la nota funzione f(x) = x². Verifichiamo con la definizione, che dice f(x) = f(−x). Se la funzione è pari, deve valere:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Il quadrato di −x possiamo scriverlo, secondo le regole per il calcolo con le potenze, così:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Il quadrato di meno uno è uno, quindi otteniamo di nuovo solo x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

La funzione seguente è pari?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Sostituiamo nella definizione:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Queste frazioni possiamo riscriverle in modo che il valore assoluto, invece di riguardare l’intera frazione, venga spostato al numeratore e al denominatore.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Modifichiamo il denominatore della seconda frazione, perché vale certamente |x| = |−x|, per la definizione di valore assoluto.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Ora otteniamo un’uguaglianza.

Verificare se una funzione è dispari

Come verifichiamo se una funzione è dispari? Dobbiamo di nuovo usare la definizione. Essa dice che la funzione f è dispari se

$$f(-x)=-f(x)$$

Cominciamo con la funzione f(x) = x³. Sostituiamo nella definizione:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Il membro sinistro possiamo svilupparlo come nell’esempio precedente:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Meno uno alla terza è meno uno:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Quindi abbiamo l’uguaglianza:

$$-x^3=-x^3$$

La funzione è dispari.

La funzione data è dispari?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Sostituiamo nella definizione:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Qui c’è poco da modificare: il segno meno della prima frazione si porta semplicemente davanti all’intera frazione, quindi otteniamo l’uguaglianza:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

La funzione è dispari.

Né pari né dispari

Una funzione può anche non essere né pari né dispari. Probabilmente la maggior parte delle funzioni è di questo tipo. Un esempio è la funzione lineare f(x) = x + 1. Proviamo a sostituire nella definizione di funzione pari:

$$x+1=-x+1$$

Isoliamo x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

L’uguaglianza non vale per ogni x, ma solo per alcuni, quindi la funzione non è pari. Ora la disparità:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Questa equazione non ha mai soluzione, perciò la funzione non è dispari.

Sia pari sia dispari

Esiste una funzione che sia pari e dispari allo stesso tempo? Esiste un grafico simmetrico sia rispetto all’asse y sia rispetto all’origine? La risposta è sì. Esiste una sola funzione che è sia pari sia dispari ed è la funzione costante f(x) = 0. Il suo grafico coincide esattamente con l’asse x.

Nota: in realtà esistono infinite funzioni di questo tipo, perché possiamo definire una funzione g(x) con la stessa espressione ma definita su un altro dominio. Per esempio possiamo avere la funzione g(x) = 0 il cui dominio sono soltanto i numeri naturali. Questa funzione è diversa dalla funzione f(x), che è definita sui numeri reali. Tuttavia l’espressione sarà sempre la stessa.

Funzioni composte

Una situazione interessante si presenta se abbiamo due funzioni pari o dispari e proviamo a sommarle, moltiplicarle e così via. Per esempio, la somma di due funzioni pari è di nuovo una funzione pari. Le regole e le combinazioni sono molte.