Equazione di primo grado

Un’equazione di primo grado (o equazione lineare) è un’equazione che si può ridurre alla forma ax + b = 0, con a ≠ 0. Un esempio concreto potrebbe essere questo: 2x + 4 = 0. La soluzione di questa equazione è il numero −2, come si può dedurre senza troppa fatica. Quando però i numeri sono un po’ più grandi, la deduzione non è più così immediata, e serve quindi un procedimento più preciso.

Forma normale dell’equazione di primo grado

Più precisamente, è un’equazione con una sola incognita x che, mediante i principi di equivalenza, si può ridurre alla forma ax + b = 0, con a ≠ 0. L’incognita non è né elevata a potenza né sotto radice, e così via. Le equazioni con l’incognita al denominatore di una frazione si possono ridurre a questa forma solo a patto che il denominatore non sia nullo. Per questo le trattiamo a parte, vedi equazioni con l’incognita al denominatore. Osserva alcuni esempi di equazioni di primo grado:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Come vedi, un’equazione di primo grado può presentarsi nei modi più diversi. Per risolverla comodamente dobbiamo prima ricondurla a un’unica forma, che chiamiamo forma normale:

$$ax+b=0,$$

dove x è l’incognita e i simboli a e b sono numeri reali qualsiasi, che chiamiamo coefficienti dell’equazione. Il numero a non può essere nullo, cioè a ≠ 0. Il termine ax si chiama termine di primo grado, il termine b si chiama termine noto.

Per risolvere un’equazione di primo grado non possiamo fare a meno dei principi di equivalenza, cioè di quelle trasformazioni che non cambiano la soluzione dell’equazione. Senza di essi non si può risolvere un’equazione appena più complicata. Per ridurre un’equazione alla forma normale possiamo semplificare le espressioni che compaiono nell’equazione oppure applicare proprio i principi di equivalenza.

Torniamo agli esempi precedenti. La prima equazione, 2x + 7 = 0, è già in forma normale, quindi vediamo subito i coefficienti a = 2 e b = 7. Con la seconda equazione, x − 2 = 74, non è così semplice. Applichiamo un principio di equivalenza: sommiamo a entrambi i membri il numero −74 (ossia sottraiamo 74 da entrambi i membri) e otteniamo x − 76 = 0. Questa è già in forma normale, con coefficienti a = 1 e b = −76.

La terza equazione è lontana dalla forma normale, ma anche con questa ce la caviamo. Prima «fabbrichiamo» uno zero al secondo membro: sommiamo a entrambi i membri l’espressione 12x. Il secondo membro si annulla, perché (−12x) + 12x = 0. L’intera equazione diventa:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Ora non resta che eliminare le parentesi e sommare i termini in x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Questa equazione di primo grado è in forma normale e i suoi coefficienti sono a = −8 e b = 3.

Nell’ultima equazione dobbiamo eliminare le frazioni. Moltiplichiamo quindi tutta l’equazione per 72, che è divisibile per tutti i denominatori:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Ora semplifichiamo le frazioni:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Al primo membro sommiamo, al secondo moltiplichiamo:

$$39x=405x+72$$

Resta l’ultimo passaggio: sottraiamo da entrambi i membri 405x e 72, e l’equazione è in forma normale:

$$-366x-72=0$$

Otteniamo dunque i coefficienti a = −366 e b = −72.

Come risolvere un’equazione di primo grado

Se l’equazione è in forma normale, si risolve facilmente. Vediamolo su un esempio: 3x − 18 = 0. Da che cosa dobbiamo sottrarre il numero 18 per ottenere zero? Semplicemente da 18. Quindi, perché l’espressione 3x − 18 sia uguale a zero, l’espressione 3x deve essere uguale a 18, così si ottiene 18 − 18 = 0. Quando 3x è uguale a 18? Esattamente quando x = 6, perché 3 · 6 = 18.

Come ricaviamo da qui un procedimento generale? Prima di tutto dobbiamo scoprire a che cosa deve essere uguale il termine di primo grado ax. Lo facciamo portando il termine noto al secondo membro, cioè sommando all’equazione −b. Otteniamo così l’equazione ax + b − b = −b, che equivale a ax = −b. Nell’esempio precedente avremmo 3x − 18 + 18 = 18, quindi 3x = 18. Non dimenticare che il numero b era uguale a b = −18, perciò sommare −b significa sommare −(−18), che è uguale a +18.

Abbiamo l’equazione nella forma ax = −b. Come ricaviamo direttamente x? Nell’esempio cercavamo il numero x che, moltiplicato per tre, dà 18. Che cosa abbiamo fatto in realtà? Abbiamo diviso 18/3 = 6. Abbiamo cioè preso l’espressione al secondo membro (−b) e l’abbiamo divisa per il valore a, nell’esempio per tre. Da ax = −b otteniamo dunque

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

L’intero procedimento applicato al primo esempio si presenta così:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Significato geometrico

Se riduciamo un’equazione di primo grado alla forma normale, al primo membro otteniamo una funzione lineare. Il grafico di una funzione lineare è una retta. Poiché la forma normale dell’equazione è ax + b = 0, le soluzioni sono tutti i punti in cui la retta (il grafico della funzione lineare) interseca l’asse x (che è anche il grafico della funzione f(x) = 0, cioè del secondo membro).

Per esempio, abbiamo trovato che la soluzione dell’equazione 3x − 18 = 0 è x = 6. Che cosa significa? Che il grafico della funzione 3x − 18 interseca l’asse x nel punto x = 6.

Proviamo a risolvere graficamente l’equazione 5x + 2 = 2x − 7. Come possiamo procedere? Possiamo ridurre l’equazione alla forma normale: sommiamo −2x e otteniamo 3x + 2 = −7, poi sommiamo 7: 3x + 9 = 0. Ora tracciamo il grafico della funzione lineare y = 3x + 9 e vediamo quando interseca l’asse x.

Il secondo modo consiste nel non trasformare affatto l’equazione, ma nel tracciare i grafici delle funzioni dei due membri. Tracciamo cioè i grafici delle funzioni f(x) = 5x + 2 e g(x) = 2x − 7.

Queste due rette si incontrano in un solo punto, indicato con A. Qual è l’ascissa di questo punto A? Ancora una volta x = −3. La soluzione grafica dell’equazione 5x + 2 = 2x − 7 è quindi l’ascissa del punto di intersezione dei grafici delle funzioni del primo e del secondo membro.

Esercizi svolti

Primo esercizio: proviamo a risolvere l’equazione 7x − 14 = 0. La situazione è semplice: l’equazione è in forma normale, quindi basta applicare il procedimento:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Secondo esercizio: risolvi l’equazione 2x + 10 = 0. L’equazione è di nuovo in forma normale; fai solo attenzione al fatto che b è positivo, per cui dopo la trasformazione al secondo membro ti viene un numero negativo:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Terzo esercizio: risolvi l’equazione 15 − 3x = 0. L’equazione è quasi in forma normale, dobbiamo solo mettere l’incognita x al primo posto. Allora l’equazione diventa −3x + 15 = 0. Anche qui fai attenzione: davanti al termine di primo grado c’è il segno meno, cosa che finora non avevamo. I passaggi sono però esattamente gli stessi:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

L’esercizio si può risolvere anche in modo un po’ diverso, più lungo. Invece di dividere subito l’equazione per −3, possiamo prima moltiplicarla per −1, eliminando così entrambi i segni meno. Poi possiamo dividere l’equazione per tre:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Quarto esercizio: risolvi l’equazione di primo grado

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Questa equazione è un po’ più complicata, perché contiene delle frazioni. Per prima cosa dobbiamo eliminare i denominatori. Il metodo migliore è moltiplicare tutta l’equazione per il minimo comune multiplo di tutti i denominatori. Abbiamo due denominatori, 4 e 2, e il loro minimo comune multiplo è 4. Se non hai voglia di calcolarlo, puoi moltiplicare l’equazione per il prodotto di tutti i denominatori, cioè 4 · 2 = 8, ma non è il procedimento consigliato, perché ti complichi la vita nei passaggi successivi. Se moltiplichiamo l’equazione per quattro, eliminiamo le frazioni semplificandole una dopo l’altra:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Ora riduciamo l’equazione alla forma normale: x − 12 = 0 e da questa equazione vediamo subito che x = 12.

Quinto esercizio / problema: abbiamo due fratelli, Marco e Luca. Luca è andato a lavorare subito dopo le superiori, mentre Marco ha frequentato anche l’università, per cinque anni in tutto. Luca riceveva ogni mese uno stipendio di 1000 €. Anche se Marco si è laureato in scienze del tempo libero con indirizzo «relax sulla sdraio», è riuscito a trovare un posto nella pubblica amministrazione, dove guadagnava 1400 € al mese. Dopo quanto tempo Marco avrà guadagnato in totale quanto Luca? Per chiarire: in cinque anni Luca ha guadagnato 5 · 12 · 1000 euro, mentre Marco dopo cinque anni è ancora a zero. Dopo quanti mesi i due importi saranno uguali?

Dal testo possiamo ricavare un’equazione di primo grado così: la variabile x rappresenterà il numero di mesi cercato, dove x = 0 indica zero mesi dal momento in cui Marco si è laureato.

Per prima cosa scriviamo la funzione che dà il guadagno di Marco in base al numero di mesi. Se per esempio ci interessa il guadagno di Marco dopo sei mesi, calcoliamo semplicemente 1400 · 6 = 8400 euro. In generale possiamo scrivere che dopo x mesi Marco ha guadagnato in tutto 1400 · x euro.

Per Luca è simile: 1000 · x, ma dobbiamo ancora aggiungere la somma che ha guadagnato mentre Marco studiava. Marco ha studiato cinque anni, quindi Luca durante gli studi ha guadagnato 5 · 12 · 1000 euro. L’espressione completa per Luca sarà dunque: 5 · 12 · 1000 + 1000 · x.

Mettiamo queste funzioni in un’equazione, perché ci interessa per quale x i due guadagni sono uguali:

$$5\cdot 12\cdot 1000+1000\cdot x=1400\cdot x$$

Risolviamo l’equazione portando tutte le x da una parte:

$$400x=5\cdot 12\cdot 1000$$

E alla fine dividiamo per 400:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Dopo 150 mesi i due avranno guadagnato la stessa somma. Luca nel periodo degli studi di Marco ha guadagnato la bella cifra di 5 · 12 · 1000 = 60.000 euro, più, in altri 150 mesi, 1000 · 150 = 150.000, in totale 60.000 + 150.000 = 210.000 euro. Marco ha lavorato soltanto questi 150 mesi e in questo tempo ha guadagnato 1400 · 150 = 210.000 euro. Vediamo che, dopo cinque anni di studi e altri 150 mesi, i due hanno davvero guadagnato la stessa somma.

Altri esercizi

Risolvi la seguente equazione di primo grado:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Per prima cosa eliminiamo la parentesi:

$$2x-14=6$$

Ora lasciamo al primo membro l’espressione con l’incognita e portiamo al secondo membro tutto il resto:

$$2x=20$$

… e infine dividiamo per due.

$$x=10$$

Risolvi l’equazione

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Anche qui per prima cosa eliminiamo le parentesi:

$$9-3x+5x-10=0$$

Sommiamo i termini simili, poi portiamo le incognite al primo membro e il resto al secondo membro:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Infine dividiamo tutta l’equazione per due:

$$x=\frac{1}{2}$$