Addizione e sottrazione
L’addizione e la sottrazione sono le operazioni matematiche più semplici, e ci servono anche nella vita di tutti i giorni. Anche se si possono sommare strutture molto diverse, qui ci occuperemo solo dell’addizione dei numeri interi.
Addizione
L’operazione di addizione si indica con il segno più +. Quando sommiamo, sommiamo degli addendi: se vogliamo calcolare 2 + 3, sia il due sia il tre si chiamano addendi. Il risultato è la somma, cioè il cinque nell’espressione 2 + 3 = 5 è la somma.
Possiamo sommare praticamente qualsiasi numero, sia naturale come 1, 5, 157, sia negativo come -4, -74. Possiamo poi sommare i numeri razionali, ovvero le frazioni, i numeri reali come per esempio π e infine anche i numeri complessi. Si possono sommare anche altre strutture: le matrici o i vettori.
L’addizione si spiega di solito con un mucchio di mele: se hai nel cestino tre mele e qualcuno te ne dà altre quattro, quante ne avrai? Ne avrai 3 + 4 = 7.
Come sommare numeri grandi
Se ti chiedessi di sommare 17.564 e 3272, probabilmente non sapresti dire il risultato a mente. Per questo si usa una calcolatrice oppure carta e matita. Come digitare i numeri sulla calcolatrice non te lo spiego, concentriamoci sul procedimento su carta.
Scriviamo i numeri da sommare uno sotto l’altro e li allineiamo a destra, in modo che le cifre dello stesso ordine (decine, centinaia, …) stiano nella stessa colonna. Sotto i due numeri tracciamo una linea orizzontale. Sarà così:
Ora sommiamo i numeri che stanno uno sotto l’altro. Se la somma è minore di dieci, scriviamo semplicemente la somma sotto la linea. Procediamo da destra, dall’ordine più piccolo. Per prima cosa sommiamo quindi 4 + 2, che fa sei. Sei è minore di dieci, perciò sotto la linea scriviamo il sei:
Continuiamo e sommiamo 6 + 7. Fa 13, che è già maggiore di dieci. In questo caso sotto la linea scriviamo solo la cifra delle unità, cioè il tre (da tredici togliamo una decina).
Che ne è stato di quell’uno che abbiamo tolto? E che cosa rappresenta? Ora stiamo lavorando con la seconda colonna da destra, che nel numero rappresenta le decine. In realtà abbiamo quindi sommato delle decine, cioè 60 + 70 = 130. Abbiamo deciso di tenere il numero 30 e di mettere da parte 100 per dopo. Per quando? Per il passo successivo, per la colonna successiva. Nel prossimo passo arriviamo a sommare le cifre che corrispondono alle centinaia. E noi abbiamo un centinaio in più, ottenuto sommando le decine. La cosa più semplice è aggiungere quel centinaio nel passo successivo.
Quindi, invece di sommare 5 + 2 nel passo successivo, sommeremo 5 + 2 + 1, dove quell’uno rappresenta il centinaio ottenuto nel passo precedente. Il risultato complessivo è otto, che è minore di dieci. Sotto la linea scriviamo quindi l’otto.
Nel passo successivo non c’è nessun migliaio in più, perciò sommiamo soltanto 7 + 3 = 10. Questo numero non è minore di dieci, quindi sotto la linea scriviamo l’ultima cifra e riportiamo uno. Sotto la linea scriviamo dunque lo zero e per il passo successivo teniamo da parte una decina di migliaia in più.
Nell’ultima colonna abbiamo una cifra soltanto nella prima riga. Nella seconda riga immaginiamo uno zero e sommiamo 1 + 0, senza dimenticare di aggiungere l’uno del passo precedente: 1 + 0 + 1 = 2. Sotto la linea scriviamo il due.
Con questo l’algoritmo finisce e abbiamo la somma dei numeri 17564 + 3272.
Animazione del procedimento dell’addizione in colonna
Nelle caselle seguenti puoi inserire due numeri naturali e poi goderti l’animazione di tutto il procedimento.
Rappresentazione grafica dell’addizione
L’addizione si può rappresentare graficamente sulla retta dei numeri. La retta dei numeri è una retta su cui sono segnati tutti i numeri. Può avere questo aspetto:
Se volessimo illustrare su questa retta l’addizione di due numeri, per esempio 3+4, procederemmo così: disegneremmo un segmento che parte dall’origine, cioè dallo zero, e arriva al tre. Nell’addizione orientiamo il segmento verso destra rispetto al punto da cui siamo partiti. Quindi così:
Ora sulla retta riportiamo il quattro. Questa volta però partiamo dal numero tre e da lì tracciamo verso destra un segmento di lunghezza quattro. Così:
Il punto in cui finisce il secondo segmento, quello verde, rappresenta il risultato finale: 3 + 4 = 7.
Sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Se a un numero a aggiungi il numero b e poi sottrai di nuovo il numero b, ottieni di nuovo il numero a. Il procedimento lo mostriamo sull’esempio 158 748 − 99 575. Come per l’addizione, scriviamo i numeri uno sotto l’altro:
Sotto la linea scriveremo il risultato, come nell’addizione. Procediamo da destra, dagli ordini più piccoli. Per prima cosa calcoliamo quindi le unità. Se il numero in alto non è minore di quello in basso, sotto la linea scriviamo la differenza numero in alto − numero in basso. (Oppure, al contrario: se il numero in basso è minore o uguale, possiamo sottrarre senza problemi.) Nella posizione delle unità il numero in alto non è minore, quindi scriviamo la differenza 8 − 5 = 3.
Ci spostiamo di una cifra a sinistra, siamo nella posizione delle decine. Qui il numero in alto è minore di quello in basso. In questo caso aggiungiamo al numero in alto una decina e poi facciamo lo stesso calcolo: numero in alto + 10 − numero in basso. Il risultato sarà 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Nel sottrarre le decine ci siamo aiutati contando lì dieci decine in più, quindi dobbiamo ricordarcene nel passo successivo. Dieci decine fanno un centinaio, perciò nel passo successivo sottraiamo un centinaio in più. Questo significa che al cinque in basso aggiungiamo l’uno del passo precedente.
Nella posizione delle centinaia ci chiediamo quindi se il sette (numero in alto) è minore del sei (numero in basso + 1). Non lo è, perciò possiamo fare la normale differenza numero in alto meno numero in basso. Ma anche in questa differenza dobbiamo aggiungere uno al numero in basso, quindi nel risultato abbiamo 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Nel passo successivo non riportiamo nulla: in questo passo non abbiamo avuto bisogno di prendere in prestito nessun ordine superiore. Nella posizione delle migliaia non aggiungiamo quindi niente a niente. Tuttavia l’otto del numero in alto è minore del nove del numero in basso, perciò dovremo aggiungere una decina al numero in alto. Otteniamo così la differenza 8 + 10 − 9 = 9.
Nel passo successivo riportiamo un uno, che aggiungiamo al numero in basso. Nove più uno fa dieci, il cinque in alto è minore di dieci. Al numero in alto aggiungiamo dieci e facciamo la differenza: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Ancora una volta ci siamo aiutati con un ordine superiore, quindi riportiamo un uno nel passo successivo. Lì nella parte in basso manca il numero, perciò immaginiamo uno zero. Aggiungendo l’uno otteniamo uno. Il numero in alto non è minore di quello in basso (ora il numero in alto è uguale a quello in basso), quindi possiamo semplicemente sottrarre: 1 − 1 = 0.
Ed ecco il risultato. Lo zero all’inizio possiamo eliminarlo e scrivere: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Rappresentazione grafica della sottrazione
Come l’addizione, anche la sottrazione si può rappresentare sulla retta dei numeri. Cambiamo soltanto il verso in cui riportiamo il segmento: non lo riportiamo verso destra rispetto al punto attuale, ma verso sinistra. Se dovessimo quindi calcolare 2 − 5, procederemmo così. Per prima cosa riporteremmo sulla retta il due, nel verso positivo, perché il due è positivo. Il cinque lo sottraiamo, quindi andrà nel verso opposto.
Ora sulla retta riportiamo il secondo segmento, che rappresenterà meno cinque. Partiamo dal punto in cui siamo arrivati, cioè dal due. Il segmento però lo tracciamo all’indietro, verso sinistra.
