Divisione tra numeri
La divisione tra numeri è l’operazione inversa della moltiplicazione. Inoltre la divisione è una buona fonte di umorismo, perché, come tutti sanno, non si può dividere per zero, altrimenti il quaderno prenderebbe fuoco.
Che cos’è la divisione
La divisione possiamo immaginarla come la suddivisione di un intero grande in parti più piccole, tutte uguali. Può capitare che un papà debba tagliare un’asse lunga 100 cm in cinque parti uguali. Quanto sarà lunga ciascuna parte?
Possiamo procedere al contrario: se sommiamo le lunghezze di tutti e cinque i pezzi tagliati, dobbiamo ottenere di nuovo il numero 100. Quale numero soddisfa questa condizione? È il numero 20, perché 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Al posto dell’addizione possiamo usare anche la moltiplicazione. Possiamo chiederci: quale numero, moltiplicato per cinque, dà cento? Di nuovo il numero 20, perché 5 · 20 = 100.
Graficamente potremmo rappresentarlo come la divisione di un segmento di lunghezza 100 in cinque parti di uguale lunghezza:
Quando vogliamo dividere il numero 100 per il numero 5, scopriamo «quante volte il cinque sta nel cento». La divisione si scrive con la barra obliqua: 100 / 5 oppure con i due punti: 100 : 5. Il risultato della divisione di due numeri è il quoziente. Nei nostri esempi il numero 20 è il quoziente dei numeri 100 e 5. Il numero a sinistra si chiama dividendo, quello a destra divisore. La divisione si può scrivere anche con una frazione: al posto di 100 / 5 possiamo scrivere
- a si chiama dividendo,
- b si chiama divisore,
- c si chiama quoziente.
Definizione tramite la moltiplicazione
Il quoziente si può definire nel modo più semplice tramite la moltiplicazione. Come esempio prendiamo il quoziente di questi numeri: 35 / 7. Quale sarà il risultato? Cerchiamo il numero che, moltiplicato per 7, dà il numero 35. Se dividessimo 48 / 8, cercheremmo il numero che, moltiplicato per 8, darebbe il numero 48.
Il risultato di 35 / 7 è quindi il numero 5, perché 7 · 5 = 35. Il risultato di 48 / 8 è il numero 6, perché 8 · 6 = 48.
Se in generale dividiamo a / b, il risultato è il numero c per cui vale b · c = a.
Anche se abbiamo mostrato tutti gli esempi con i numeri naturali, grazie alla definizione tramite la moltiplicazione possiamo dividere anche qualsiasi altro numero. Possiamo per esempio trovare il quoziente −85,76 / 6,7 cercando il numero x per cui vale 6,7 · x = −85,76. Questo vale per x = −12,8.
Lo zero si può dividere per un altro numero
Lo zero si può dividere per un numero qualsiasi: questa è un’espressione valida: 0 / 15. In sostanza diciamo che vogliamo dividere lo zero in 15 parti uguali. Possiamo immaginarlo così: non abbiamo nessuna torta e questa torta che non abbiamo vogliamo dividerla in 15 parti – quanto sarà grande ciascuna parte? Sarà nulla, perché semplicemente non abbiamo nessuna torta. Oppure immagina di avere nel portafoglio zero euro e di voler dividere questi zero euro tra tre bambini. Quanto riceve ciascun bambino? Niente di niente, perché semplicemente non hai nulla. Perciò 0 / 15 = 0.
Possiamo dividere lo zero per un altro numero, ma non possiamo dividere un altro numero per zero. Questa espressione non è valida: 8 / 0.
Perché però non si può dividere per zero?
Non si può dividere per zero perché ce lo vieta l’undicesimo comandamento.
Ma ci sono anche ragioni più convincenti. Per ora ci interessa il caso in cui il dividendo è diverso da zero – la divisione ha la forma a / 0, dove a ≠ 0. Elenchiamo due ragioni:
- Restiamo nell’analogia con la divisione di un intero in parti più piccole, tutte uguali. Abbiamo 15 dinosauri, i più feroci. Ora vogliamo dividerli tra zero bambini. Quanti dinosauri riceve ciascun bambino?
Eh???
Sì, hai letto bene e sì, non ha senso. Non possiamo chiederci quanti dinosauri abbia ricevuto ogni bambino, se non avevamo nessun bambino a cui darli. Perciò non ha senso nemmeno dividere per zero e diciamo che l’espressione x / 0 non è definita.
- La divisione l’abbiamo introdotta tramite la moltiplicazione. Quando proviamo a dividere per zero 15 / 0, cerchiamo un numero x per cui valga x · 0 = 15. Ma qualsiasi numero per zero fa zero, quindi non troveremo mai un x per cui questa equazione abbia senso.
E il quoziente 0/0?
Non è definito, esattamente come x / 0. Ecco le ragioni:
Stavolta abbiamo zero dinosauri, i più feroci, che vogliamo dividere tra zero bambini. È di nuovo una richiesta assurda.
Secondo la definizione di divisione, quando dividiamo 0 / 0 cerchiamo un numero x per cui valga x · 0 = 0. Una soluzione la troveremmo, o meglio: qualsiasi numero reale è soluzione di questa equazione. Che al posto di x mettiamo 4, 1 o π, l’equazione sarà sempre soddisfatta. Naturalmente è inammissibile che il risultato della divisione sia tutto l’insieme dei numeri reali, non ha senso.
Dovremmo scegliere da tutto l’insieme un numero preciso e dire che proprio quel numero è il risultato della divisione 0 / 0. Ma quale? Dovrebbe essere uguale a uno? A otto? A zero? A meno uno? E perché? Proviamo a portare argomenti a favore dello zero e dell’uno:
- Sappiamo che, se abbiamo una frazione della forma x / x, questa frazione è uguale a uno. Per esempio 7 / 7 = 1 oppure 3 / 3 = 1. Da qui potremmo dedurre che 0 / 0 andrebbe definito in modo che valga 0 / 0 = 1.
- Guardiamo questa successione di frazioni sicuramente valide. In ognuna dividiamo lo zero per un numero che si avvicina sempre di più a zero:
Vediamo che, per quanto vicino a zero sia il numero per cui dividiamo, come risultato del quoziente otteniamo sempre zero. Da questo potremmo dedurre che 0 / 0 = 0.
Questi sono entrambi argomenti validi per definire il quoziente 0 / 0. Ma quale dei due è migliore? In fin dei conti, anche se ne scegliessimo uno e lo dichiarassimo l’unico valido, arriveremmo comunque a una contraddizione con altre parti della matematica.
Per questo è meglio lasciare la divisione per zero non definita.
L’argomento finale contro la divisione per zero
Se gli argomenti precedenti non ti bastano, forse ti convincerà la seguente documentazione fotografica di un caso in cui qualcuno ha davvero provato a dividere per zero:
