✖

Másodfokúra visszavezethető negyedfokú egyenletek

Másodfokúra visszavezethető negyedfokú egyenlet például a 3x4 + 7x2 + 5 = 0. Általában akkor nevezünk egy egyenletet másodfokúra visszavezethető negyedfokúnak, ha ekvivalens átalakításokkal felírható

ax4+bx2+c=0

alakban, ahol az a, b, c valós számok, és az a együttható nem nulla. Az egyenlet egy kicsit a másodfokú egyenletre emlékeztet, csak a kitevők kétszer akkorák. Hogyan oldjunk meg egy ilyen egyenletet? Úgy, hogy egy kis csalással éppen másodfokú egyenletté alakítjuk. Ez a csalás az új ismeretlen bevezetése (helyettesítés). Úgy végezzük, hogy kimondjuk: legyen t = x2, és most mindenhová, ahol az eredeti egyenletben x2 állt, t-t írunk. Példaként vegyük a következő egyenletet:

x4−2x2−15=0

Az x2 minden előfordulását t-re cseréljük, miközben nem felejtjük el, hogy az x4 valójában x2 · x2, tehát x4 = t2:

t2−2t−15=0

Most látjuk, miért végeztük ezt a helyettesítést – mert egy közönséges másodfokú egyenletet kaptunk. Ezt megoldhatjuk például úgy, hogy kiszámítjuk a diszkriminánst, vagy a teljes négyzetté alakítás módszerével. A diszkrimináns

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64

és az egyenlet gyökei tehát

t1,2=−b±D2a=2±642=2±82

Az egyenletnek így két gyöke van:

t1=5,t2=−3

Ezzel ismerjük a t2 − 2t − 15 = 0 másodfokú egyenlet megoldásait. Már csak az eredeti egyenlet megoldásait kell kiszámítanunk. Tudjuk, hogy ha a t öt vagy mínusz három, akkor az egyenlet teljesül. Mi azonban nem a t-re, hanem az x-re vagyunk kíváncsiak. Tudjuk, hogy t = x2, így választottuk a helyettesítést. Ezért ha most megoldjuk az

x2=5ésx2=−3

egyenleteket, megkapjuk az eredeti egyenlet megoldását x-re. Az első egyenlet egyszerű, ha x2 = 5, akkor

x1=5,x2=−5

A másodiknál ez bonyolultabb, mert az x2 = −3 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán, a megoldást a komplex számok halmazán kellene keresnünk. Ha csak a valós számok halmazán keressük a megoldást, akkor azt mondhatjuk, hogy az eredeti egyenletnek két valós gyöke van, x1=5 és x2=−5.