Bikvadratiske ligninger

En bikvadratisk ligning er for eksempel ligningen 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Generelt kalder vi en ligning bikvadratisk, hvis den ved ækvivalente omformninger kan omformes til formen

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

hvor a, b, c er reelle tal, og koefficienten a er forskellig fra nul. Ligningen minder lidt om en andengradsligning, bare med eksponenter, der er dobbelt så store. Hvordan løser vi sådan en ligning? Ved med et lille trick at omforme den netop til en andengradsligning. Det trick hedder substitution. Substitutionen udfører vi ved at sige, at t = x², og nu skriver vi t overalt, hvor der i den oprindelige ligning stod x². Som eksempel tager vi den bikvadratiske ligning

$$x^4-2x^2-15=0$$

Vi erstatter alle forekomster af x² med t, og vi glemmer ikke, at x⁴ i virkeligheden er x² · x² og altså at x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Nu kan vi se, hvorfor vi lavede denne substitution — vi har nemlig fået en almindelig andengradsligning. Den kan vi løse for eksempel ved at beregne diskriminanten eller med metoden kvadratkomplettering. Diskriminanten bliver

$$d=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Og ligningens løsninger er altså

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{d}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Vi har således to løsninger til ligningen:

$$t_1=5,t_2=-3$$

På dette tidspunkt kender vi altså løsningerne til andengradsligningen t² − 2t − 15 = 0. Nu mangler vi at beregne løsningerne til den oprindelige bikvadratiske ligning. Vi ved, at hvis t er lig med fem eller minus tre, er ligningen opfyldt. Men vi er ikke interesseret i løsningerne for t, vi vil kende løsningerne for x. Vi ved, at t = x², det var sådan, vi valgte substitutionen. Når vi derfor nu løser ligningerne

$$x^2=5\text{og}{x}^2=-3$$

får vi løsningerne til den oprindelige ligning for x. Den første ligning er enkel, hvis x² = 5, så er

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Med den anden ligning er det sværere, for x² = −3 har ingen løsning i de reelle tal, vi ville være nødt til at finde løsningen i de komplekse tal. Leder vi kun efter løsninger i de reelle tal, kan vi sige, at den oprindelige bikvadratiske ligning har to reelle løsninger, $x_1=\sqrt{5}$ og $x_2=-\sqrt{5}$.