✖

Bikvadratiske likninger

En bikvadratisk likning er for eksempel likningen 3x4 + 7x2 + 5 = 0. Generelt kaller vi en likning bikvadratisk hvis vi kan skrive den om med ekvivalente omforminger til formen

ax4+bx2+c=0

der a, b, c er reelle tall og koeffisienten a er ulik null. Likningen minner litt om en andregradslikning, bare at eksponentene er dobbelt så store. Hvordan løser vi en slik likning? Ved å gjøre den om til nettopp en andregradslikning med et lite knep. Dette knepet heter substitusjon. Vi gjør substitusjonen ved å si at t = x2, og nå skriver vi t overalt der det i den opprinnelige likningen sto x2. Som eksempel tar vi den bikvadratiske likningen

x4−2x2−15=0

Alle forekomster av x2 erstatter vi med t, og vi glemmer ikke at x4 egentlig er x2 · x2 og dermed at x4 = t2:

t2−2t−15=0

Nå ser vi hvorfor vi gjorde denne substitusjonen — fordi vi fikk en vanlig andregradslikning. Den kan vi løse for eksempel ved å regne ut diskriminanten eller med metoden kvadratkomplettering. Diskriminanten blir

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64

Og løsningene av likningen er altså

t1,2=−b±D2a=2±642=2±82

Vi har altså to løsninger av likningen:

t1=5,t2=−3

Nå kjenner vi altså løsningene av andregradslikningen t2 − 2t − 15 = 0. Det gjenstår å regne ut løsningene av den opprinnelige bikvadratiske likningen. Vi vet at hvis t er lik fem eller minus tre, er likningen oppfylt. Men vi vil ikke vite løsningene for t, vi vil vite løsningene for x. Vi vet at t = x2, det var slik vi valgte substitusjonen. Derfor får vi løsningene av den opprinnelige likningen for x når vi løser likningene

x2=5ogx2=−3

Den første likningen er enkel, hvis x2 = 5, er

x1=5,x2=−5

Den andre likningen er vanskeligere, fordi x2 = −3 ikke har løsning i de reelle tallene, vi måtte funnet løsningen i de komplekse tallene. Hvis vi bare leter etter løsninger i de reelle tallene, kan vi si at den opprinnelige bikvadratiske likningen har to reelle løsninger, x1=5 og x2=−5.