Ecuația bipătrată

Un exemplu de ecuație bipătrată este ecuația 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. În general, o ecuație se numește bipătrată dacă o putem aduce prin transformări echivalente la forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

unde a, b, c sunt numere reale, iar coeficientul a este nenul. Ecuația seamănă puțin cu o ecuație de gradul al doilea, doar că exponenții sunt de două ori mai mari. Cum rezolvăm o astfel de ecuație? O transformăm printr-un mic șiretlic chiar într-o ecuație de gradul al doilea. Șiretlicul se numește substituție (schimbare de variabilă). Facem substituția spunând că t = x² și acum, peste tot unde în ecuația inițială era x², scriem t. Ca exemplu, luăm ecuația bipătrată

$$x^4-2x^2-15=0$$

Înlocuim toate aparițiile lui x² cu t, fără să uităm că x⁴ este de fapt x² · x², deci că x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Acum vedem de ce am făcut această substituție – pentru că am obținut o ecuație obișnuită de gradul al doilea. O putem rezolva, de exemplu, calculând discriminantul sau prin metoda formării pătratului perfect. Discriminantul ne iese

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Deci soluțiile ecuației sunt

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Avem astfel două soluții ale ecuației:

$$t_1=5,t_2=-3$$

În acest moment cunoaștem soluțiile ecuației de gradul al doilea t² − 2t − 15 = 0. Ne rămâne să calculăm soluțiile ecuației bipătrate inițiale. Știm că, dacă t este egal cu 5 sau cu −3, ecuația este verificată. Dar noi nu vrem să cunoaștem soluțiile pentru t, ci pe cele pentru x. Știm că t = x², așa am ales substituția. De aceea, dacă acum rezolvăm ecuațiile

$$x^2=5\text{și}{x}^2=-3$$

obținem soluțiile ecuației inițiale pentru x. Prima ecuație este simplă: dacă x² = 5, atunci

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

La a doua ecuație lucrurile stau mai complicat, pentru că x² = −3 nu are soluții în mulțimea numerelor reale; ar trebui să căutăm soluțiile în mulțimea numerelor complexe. Dacă ne interesează doar soluțiile reale, putem spune că ecuația bipătrată inițială are două soluții reale, $x_1=\sqrt{5}$ și $x_2=-\sqrt{5}$, adică $S=\{-\sqrt{5},\sqrt{5}\}$.