Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é, por exemplo, a equação 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Em geral, chamamos uma equação de biquadrada se ela pode ser levada, por transformações equivalentes, à forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

em que a, b, c são números reais e o coeficiente a é diferente de zero. A equação lembra um pouco a equação do 2º grau, só que os expoentes são o dobro. Como resolvemos uma equação assim? Com um pequeno truque, transformando-a justamente em uma equação do 2º grau. Esse truque se chama mudança de variável. Fazemos a mudança dizendo que t = x² e, agora, em todo lugar em que na equação original havia x², escrevemos t. Como exemplo, tomemos a equação biquadrada

$$x^4-2x^2-15=0$$

Substituímos todas as ocorrências de x² por t, sem esquecer que x⁴ é, na verdade, x² · x² e, portanto, que x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Agora vemos por que fizemos essa mudança: porque obtivemos uma equação do 2º grau comum. Podemos resolvê-la, por exemplo, calculando o discriminante ou pelo método de completar quadrados. O discriminante dá

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

e, portanto, as raízes da equação são

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Temos, assim, duas raízes da equação:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Neste momento conhecemos, então, a solução da equação do 2º grau t² − 2t − 15 = 0. Falta calcular a solução da equação biquadrada original. Sabemos que, se t é igual a cinco ou a menos três, a equação é satisfeita. Mas não queremos conhecer a solução para t, queremos conhecer a solução para x. Sabemos que t = x², foi assim que escolhemos a mudança de variável. Por isso, se agora resolvermos as equações

$$x^2=5\text{e}{x}^2=-3$$

obtemos a solução da equação original para x. A primeira equação é simples: se x² = 5, então

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Na segunda equação é mais difícil, porque x² = −3 não tem solução no conjunto dos números reais; teríamos de encontrar a solução no conjunto dos números complexos. Se procuramos apenas a solução no conjunto dos números reais, podemos dizer que a equação biquadrada original tem duas raízes reais, $x_1=\sqrt{5}$ e $x_2=-\sqrt{5}$.