Διτετράγωνες εξισώσεις

Διτετράγωνη εξίσωση είναι για παράδειγμα η εξίσωση 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Γενικά μια εξίσωση τη λέμε διτετράγωνη, αν με ισοδύναμες μετατροπές μπορεί να γραφτεί στη μορφή

$$\alpha x^4+\beta x^2+\gamma =0$$

όπου οι α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και ο συντελεστής α είναι μη μηδενικός. Η εξίσωση θυμίζει κάπως την εξίσωση δευτέρου βαθμού, μόνο που οι εκθέτες είναι διπλάσιοι. Με ποιον τρόπο λύνουμε μια τέτοια εξίσωση; Με ένα μικρό κόλπο τη μετατρέπουμε ακριβώς σε εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αυτό το κόλπο λέγεται αντικατάσταση. Την κάνουμε θέτοντας t = x²· τώρα παντού όπου στην αρχική εξίσωση υπήρχε x², γράφουμε t. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη διτετράγωνη εξίσωση

$$x^4-2x^2-15=0$$

Όλες τις εμφανίσεις του x² τις αντικαθιστούμε με t, χωρίς να ξεχνάμε ότι το x⁴ είναι στην πραγματικότητα x² · x² και άρα ότι x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Τώρα βλέπουμε γιατί κάναμε αυτήν την αντικατάσταση – επειδή πήραμε μια συνηθισμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αυτήν μπορούμε να τη λύσουμε για παράδειγμα υπολογίζοντας τη διακρίνουσα ή με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου. Η διακρίνουσα βγαίνει

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Και άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι

$$t_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Έχουμε έτσι δύο ρίζες της εξίσωσης:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Σε αυτό το σημείο γνωρίζουμε λοιπόν τη λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού t² − 2t − 15 = 0. Μένει να υπολογίσουμε τη λύση της αρχικής διτετράγωνης εξίσωσης. Ξέρουμε ότι αν το t ισούται με πέντε ή με μείον τρία, τότε η εξίσωση ικανοποιείται. Εμείς όμως δεν θέλουμε να ξέρουμε τη λύση για το t, θέλουμε να ξέρουμε τη λύση για το x. Ξέρουμε ότι t = x², έτσι επιλέξαμε την αντικατάσταση. Γι' αυτό, αν τώρα λύσουμε τις εξισώσεις

$$x^2=5\text{και}{x}^2=-3$$

θα πάρουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης ως προς x. Η πρώτη εξίσωση είναι απλή, αν x² = 5, τότε

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Στη δεύτερη εξίσωση είναι πιο δύσκολο, επειδή η x² = −3 δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, θα έπρεπε να βρούμε τη λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Αν ψάχνουμε μόνο λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε μπορούμε να πούμε ότι η αρχική διτετράγωνη εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, $x_1=\sqrt{5}$ και $x_2=-\sqrt{5}$.