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Équations bicarrées

Une équation bicarrée est par exemple 3x4 + 7x2 + 5 = 0. De manière générale, une équation est dite bicarrée si elle peut être ramenée, à l’aide de transformations équivalentes, à la forme

ax4+bx2+c=0

où a, b, c sont des nombres réels et le coefficient a est non nul. L’équation ressemble à une équation du second degré : seuls les exposants sont deux fois plus grands. Comment la résout-on ? En la transformant, à l’aide d’un petit tour de passe-passe, en une équation du second degré. Ce procédé s’appelle une substitution. On pose t = x2 et l’on remplace partout dans l’équation x2 par t. Prenons l’équation bicarrée suivante :

x4−2x2−15=0

Tous les x2 sont remplacés par t, en n’oubliant pas que x4 est en réalité x2 · x2, donc que x4 = t2 :

t2−2t−15=0

On voit maintenant pourquoi nous avons fait cette substitution : nous avons obtenu une équation du second degré ordinaire. On peut la résoudre par exemple en calculant le discriminant, ou par la méthode de complétion du carré. Le discriminant vaut

Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64

Les racines de l’équation sont donc

t1,2=−b±Δ2a=2±642=2±82

On obtient deux racines :

t1=5,t2=−3

Nous connaissons maintenant les solutions de l’équation du second degré t2 − 2t − 15 = 0. Il reste à déterminer les solutions de l’équation bicarrée d’origine. Si t vaut 5 ou −3, l’équation est vérifiée. Mais ce qui nous intéresse, ce n’est pas t, c’est x. Comme nous avons posé t = x2, il suffit de résoudre les équations

x2=5etx2=−3

pour obtenir les solutions de l’équation d’origine en x. La première est simple : si x2 = 5, alors

x1=5,x2=−5

La seconde est plus délicate, car x2 = −3 n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels ; il faudrait chercher les solutions dans l’ensemble des nombres complexes. Si l’on ne cherche que les solutions réelles, on peut donc affirmer que l’équation bicarrée d’origine a deux racines réelles, x1=5 et x2=−5.