Bikare Denklem

Bikare denkleme örnek olarak 3x⁴ + 7x² + 5 = 0 denklemi verilebilir. Genel olarak, bir denklem denk işlemlerle şu biçime getirilebiliyorsa ona bikare denklem deriz:

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

burada a, b, c gerçek sayılardır ve a katsayısı sıfırdan farklıdır. Denklem biraz ikinci dereceden denkleme benzer; yalnızca üsler iki katıdır. Böyle bir denklemi nasıl çözeriz? Küçük bir hileyle onu ikinci dereceden bir denkleme dönüştürürüz. Bu hilenin adı değişken değiştirmedir. Değişken değiştirmeyi şöyle yaparız: t = x² deriz ve asıl denklemde x² olan her yere şimdi t yazarız. Örnek olarak şu bikare denklemi alalım:

$$x^4-2x^2-15=0$$

x² ifadesinin geçtiği her yere t yazarız; bu arada x⁴ aslında x² · x² olduğundan x⁴ = t² olduğunu unutmayız:

$$t^2-2t-15=0$$

Bu değişken değiştirmeyi neden yaptığımızı artık görüyoruz: sıradan bir ikinci dereceden denklem elde ettik. Bunu örneğin diskriminantı hesaplayarak ya da tam kareye tamamlama yöntemiyle çözebiliriz. Diskriminant şöyle çıkar:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Yani denklemin kökleri şunlardır:

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Denklemin iki kökünü elde ederiz:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Artık t² − 2t − 15 = 0 ikinci dereceden denkleminin çözümünü biliyoruz. Asıl bikare denklemin çözümünü bulmamız kaldı. t sayısı 5 ya da eksi 3 olursa denklemin sağlandığını biliyoruz. Ama biz t için çözümü değil, x için çözümü bilmek istiyoruz. t = x² olduğunu biliyoruz, değişken değiştirmeyi böyle seçtik. Bu yüzden şimdi şu denklemleri çözersek

$$x^2=5\text{ve}{x}^2=-3$$

asıl denklemin x için çözümlerini elde ederiz. İlk denklem basit: x² = 5 ise

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

İkinci denklemde iş daha karmaşık, çünkü x² = −3 denkleminin gerçek sayılarda çözümü yoktur; çözümü karmaşık sayılarda bulmamız gerekirdi. Yalnızca gerçek sayılardaki çözümleri arıyorsak, asıl bikare denklemin iki gerçek kökü olduğunu söyleyebiliriz: $x_1=\sqrt{5}$ ve $x_2=-\sqrt{5}$.