✖

Bikvadraattinen yhtälö

Bikvadraattinen yhtälö on esimerkiksi yhtälö 3x4 + 7x2 + 5 = 0. Yleisesti yhtälöä sanotaan bikvadraattiseksi, jos se voidaan yhtäpitävillä muunnoksilla muokata muotoon

ax4+bx2+c=0

missä a, b, c ovat reaalilukuja ja kerroin a on nollasta poikkeava. Yhtälö muistuttaa jonkin verran toisen asteen yhtälöä, vain eksponentit ovat kaksinkertaisia. Miten tällainen yhtälö ratkaistaan? Muokkaamalla se pienellä huijauksella nimenomaan toisen asteen yhtälöksi. Huijauksen nimi on sijoitus. Sijoitus tehdään merkitsemällä t = x2, ja nyt kaikkialle, missä alkuperäisessä yhtälössä oli x2, kirjoitetaan t. Otetaan esimerkiksi bikvadraattinen yhtälö

x4−2x2−15=0

Kaikki x2:n esiintymät korvataan kirjaimella t, jolloin on muistettava, että x4 on oikeasti x2 · x2 ja siis x4 = t2:

t2−2t−15=0

Nyt nähdään, miksi tämä sijoitus tehtiin – saatiin tavallinen toisen asteen yhtälö. Sen voi ratkaista esimerkiksi laskemalla diskriminantin tai neliöksi täydentämisen menetelmällä. Diskriminantiksi tulee

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64

Ja yhtälön juuret ovat siis

t1,2=−b±D2a=2±642=2±82

Yhtälön juuria on siis kaksi:

t1=5,t2=−3

Tässä vaiheessa tunnetaan toisen asteen yhtälön t2 − 2t − 15 = 0 ratkaisu. Jäljellä on laskea alkuperäisen bikvadraattisen yhtälön ratkaisu. Tiedetään, että jos t on viisi tai miinus kolme, yhtälö toteutuu. Ratkaisua ei kuitenkaan haluta t:lle vaan x:lle. Tiedetään, että t = x2, sillä sijoitus valittiin niin. Siksi kun nyt ratkaistaan yhtälöt

x2=5jax2=−3

saadaan alkuperäisen yhtälön ratkaisu x:lle. Ensimmäinen yhtälö on yksinkertainen, jos x2 = 5, niin

x1=5,x2=−5

Toisen yhtälön kohdalla on hankalampaa, koska yhtälöllä x2 = −3 ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa, ratkaisu täytyisi etsiä kompleksilukujen joukosta. Jos etsitään vain reaalilukuratkaisuja, voidaan sanoa, että alkuperäisellä bikvadraattisella yhtälöllä on kaksi reaalijuurta x1=5 ja x2=−5.