Биквадратни уравнения

Биквадратно уравнение е например уравнението 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. В общия случай уравнението наричаме биквадратно, ако с еквивалентни преобразувания може да се приведе във вида

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

където a, b, c са реални числа, а коефициентът a е различен от нула. Уравнението малко прилича на квадратно уравнение, само че степенните показатели са два пъти по-големи. По какъв начин решаваме такова уравнение? Като с една малка хитрост го преобразуваме именно в квадратно уравнение. Тази хитрост се нарича полагане. Полагаме t = x² и навсякъде, където в първоначалното уравнение имаше x², пишем t. За пример да вземем биквадратното уравнение

$$x^4-2x^2-15=0$$

Всички x² заменяме с t, като не забравяме, че x⁴ всъщност е x² · x² и значи x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Сега виждаме защо направихме това полагане – защото получихме обикновено квадратно уравнение. Можем да го решим например, като пресметнем дискриминантата или по метода на допълване до точен квадрат. Дискриминантата ни излиза

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

И значи корените на уравнението са

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Така получаваме два корена на уравнението:

$$t_1=5,t_2=-3$$

В този момент знаем решението на квадратното уравнение t² − 2t − 15 = 0. Остава да пресметнем решението на първоначалното биквадратно уравнение. Знаем, че ако t е равно на пет или на минус три, уравнението е изпълнено. Но ние не искаме да знаем решението за t, ние искаме да знаем решението за x. Знаем, че t = x², така избрахме полагането. Затова когато сега решим уравненията

$$x^2=5\text{и}{x}^2=-3$$

получаваме решението на първоначалното уравнение за x. Първото уравнение е просто, ако x² = 5, то

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

При второто уравнение е по-сложно, защото x² = −3 няма решение в множеството на реалните числа, би трябвало да търсим решението в множеството на комплексните числа. Ако търсим само решения в множеството на реалните числа, можем да кажем, че първоначалното биквадратно уравнение има два реални корена $x_1=\sqrt{5}$ и $x_2=-\sqrt{5}$.