Bikwadratische vergelijkingen

Een bikwadratische vergelijking is bijvoorbeeld de vergelijking 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. In het algemeen noemen we een vergelijking bikwadratisch als we haar met equivalente bewerkingen kunnen herleiden tot de vorm

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

waarbij a, b, c reële getallen zijn en de coëfficiënt a ongelijk aan nul is. De vergelijking lijkt een beetje op een kwadratische vergelijking, alleen zijn de exponenten twee keer zo groot. Hoe lossen we zo'n vergelijking op? Door haar met een klein trucje te herleiden tot een kwadratische vergelijking. Dat trucje heet substitutie. We voeren de substitutie uit door te zeggen dat t = x² en nu schrijven we overal waar in de oorspronkelijke vergelijking x² stond, t. Als voorbeeld nemen we de bikwadratische vergelijking

$$x^4-2x^2-15=0$$

Alle voorkomens van x² vervangen we door t, waarbij we niet vergeten dat x⁴ eigenlijk x² · x² is en dus dat x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Nu zien we waarom we deze substitutie hebben uitgevoerd: we hebben een gewone kwadratische vergelijking gekregen. Die kunnen we bijvoorbeeld oplossen door de discriminant te berekenen of met de methode van kwadraat afsplitsen. De discriminant is

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

En de oplossingen van de vergelijking zijn dus

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

We hebben dus twee oplossingen van de vergelijking:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Nu kennen we de oplossingen van de kwadratische vergelijking t² − 2t − 15 = 0. We moeten nog de oplossingen van de oorspronkelijke bikwadratische vergelijking berekenen. We weten dat als t gelijk is aan vijf of aan min drie, de vergelijking klopt. Maar we willen niet de oplossingen voor t weten, we willen de oplossingen voor x weten. We weten dat t = x², zo hebben we de substitutie gekozen. Als we dus nu de vergelijkingen

$$x^2=5\text{en}{x}^2=-3$$

oplossen, krijgen we de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking voor x. De eerste vergelijking is eenvoudig, als x² = 5, dan

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Bij de tweede vergelijking is het lastiger, want x² = −3 heeft geen oplossing in de reële getallen, we zouden de oplossing in de complexe getallen moeten zoeken. Als we alleen de oplossingen in de reële getallen zoeken, kunnen we zeggen dat de oorspronkelijke bikwadratische vergelijking twee reële oplossingen heeft, $x_1=\sqrt{5}$ en $x_2=-\sqrt{5}$.