Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es, por ejemplo, la ecuación 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. En general, llamamos bicuadrada a una ecuación si mediante transformaciones equivalentes se puede llevar a la forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

donde a, b, c son números reales y el coeficiente a es distinto de cero. La ecuación recuerda un poco a la ecuación de segundo grado, solo que los exponentes son el doble. ¿Cómo resolvemos una ecuación así? Con una pequeña trampa la transformamos precisamente en una ecuación de segundo grado. Esa trampa se llama cambio de variable. Hacemos el cambio diciendo que t = x² y ahora, en todos los lugares en que en la ecuación original aparecía x², escribimos t. Como ejemplo, tomemos la ecuación bicuadrada

$$x^4-2x^2-15=0$$

Sustituimos todas las apariciones de x² por t, sin olvidar que x⁴ es en realidad x² · x² y, por tanto, que x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Ahora vemos por qué hemos hecho este cambio: hemos obtenido una ecuación de segundo grado corriente. Podemos resolverla, por ejemplo, calculando el discriminante o con el método de completar el cuadrado. El discriminante nos sale

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Y, por tanto, las soluciones de la ecuación son

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Tenemos así dos soluciones de la ecuación:

$$t_1=5,t_2=-3$$

En este momento conocemos la solución de la ecuación de segundo grado t² − 2t − 15 = 0. Nos falta calcular la solución de la ecuación bicuadrada original. Sabemos que si t es igual a cinco o a menos tres, la ecuación se cumple. Pero nosotros no queremos conocer la solución para t, queremos conocer la solución para x. Sabemos que t = x²; así elegimos el cambio de variable. Por eso, si ahora resolvemos las ecuaciones

$$x^2=5\text{y}{x}^2=-3$$

obtendremos la solución de la ecuación original para x. La primera ecuación es sencilla: si x² = 5, entonces

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

La segunda ecuación es más complicada, porque x² = −3 no tiene solución en el conjunto de los números reales; tendríamos que buscar la solución en el conjunto de los números complejos. Si buscamos solo soluciones en el conjunto de los números reales, podemos decir que la ecuación bicuadrada original tiene dos soluciones reales, $x_1=\sqrt{5}$ y $x_2=-\sqrt{5}$.