✖

Bikvadratiska ekvationer

En bikvadratisk ekvation är till exempel ekvationen 3x4 + 7x2 + 5 = 0. Allmänt kallar vi en ekvation bikvadratisk om den med ekvivalenta omformningar kan skrivas på formen

ax4+bx2+c=0

där a, b och c är reella tal och koefficienten a är skild från noll. Ekvationen liknar lite en andragradsekvation, bara att exponenterna är dubbelt så stora. Hur löser vi en sådan ekvation? Genom att med ett litet trick göra om den till just en andragradsekvation. Tricket heter substitution. Vi gör substitutionen genom att säga att t = x2 och nu skriver vi t överallt där det stod x2 i den ursprungliga ekvationen. Som exempel tar vi den bikvadratiska ekvationen

x4−2x2−15=0

Vi ersätter alla x2 med t och kommer ihåg att x4 egentligen är x2 · x2 och alltså att x4 = t2:

t2−2t−15=0

Nu ser vi varför vi gjorde substitutionen — vi fick en vanlig andragradsekvation. Den kan vi lösa till exempel genom att beräkna diskriminanten eller med metoden kvadratkomplettering. Diskriminanten blir

D=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64

Och ekvationens rötter är alltså

t1,2=−b±D2a=2±642=2±82

Vi har alltså två rötter:

t1=5,t2=−3

Nu känner vi alltså lösningarna till andragradsekvationen t2 − 2t − 15 = 0. Det återstår att beräkna lösningarna till den ursprungliga bikvadratiska ekvationen. Vi vet att om t är lika med 5 eller −3 är ekvationen uppfylld. Men vi vill inte veta lösningen för t, vi vill veta lösningen för x. Vi vet att t = x2, det var så vi valde substitutionen. Om vi därför löser ekvationerna

x2=5ochx2=−3

får vi lösningarna till den ursprungliga ekvationen för x. Den första ekvationen är enkel, om x2 = 5 är

x1=5,x2=−5

Den andra ekvationen är svårare, eftersom x2 = −3 saknar lösning över de reella talen, vi skulle behöva hitta lösningen över de komplexa talen. Om vi bara söker lösningar över de reella talen kan vi säga att den ursprungliga bikvadratiska ekvationen har två reella rötter x1=5 och x2=−5.