Biquadratische Gleichungen

Eine biquadratische Gleichung ist zum Beispiel die Gleichung 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. Allgemein nennen wir eine Gleichung biquadratisch, wenn sie sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

bringen lässt, wobei a, b, c reelle Zahlen sind und der Koeffizient a ungleich null ist. Die Gleichung erinnert ein wenig an eine quadratische Gleichung, nur sind die Exponenten doppelt so groß. Wie lösen wir so eine Gleichung? Indem wir sie durch einen kleinen Trick genau in eine quadratische Gleichung umformen. Dieser Trick heißt Substitution. Wir führen sie durch, indem wir festlegen, dass t = x² sein soll, und überall dort, wo in der ursprünglichen Gleichung x² stand, schreiben wir jetzt t. Nehmen wir als Beispiel die biquadratische Gleichung

$$x^4-2x^2-15=0$$

Alle Vorkommen von x² ersetzen wir durch t, wobei wir nicht vergessen, dass x⁴ in Wirklichkeit x² · x² ist und somit x⁴ = t² gilt:

$$t^2-2t-15=0$$

Jetzt sehen wir, warum wir diese Substitution gemacht haben – wir haben nämlich eine gewöhnliche quadratische Gleichung erhalten. Die können wir zum Beispiel lösen, indem wir die Diskriminante berechnen, oder mit der Methode der quadratischen Ergänzung. Die Diskriminante ergibt sich zu

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

Die Lösungen der Gleichung sind also

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Wir haben somit zwei Lösungen der Gleichung:

$$t_1=5,t_2=-3$$

Damit kennen wir die Lösungen der quadratischen Gleichung t² − 2t − 15 = 0. Es bleibt noch, die Lösungen der ursprünglichen biquadratischen Gleichung zu berechnen. Wir wissen: Wenn t gleich fünf oder minus drei ist, ist die Gleichung erfüllt. Wir wollen aber nicht die Lösungen für t kennen, sondern die für x. Wir wissen, dass t = x² ist, so haben wir die Substitution nämlich gewählt. Wenn wir deshalb jetzt die Gleichungen

$$x^2=5\text{und}{x}^2=-3$$

lösen, erhalten wir die Lösungen der ursprünglichen Gleichung für x. Die erste Gleichung ist einfach: Wenn x² = 5 ist, dann gilt

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Bei der zweiten Gleichung ist es schwieriger, denn x² = −3 hat in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung, wir müssten die Lösung in der Menge der komplexen Zahlen suchen. Suchen wir nur Lösungen in der Menge der reellen Zahlen, können wir sagen, dass die ursprüngliche biquadratische Gleichung zwei reelle Lösungen $x_1=\sqrt{5}$ und $x_2=-\sqrt{5}$ hat.