Equazioni biquadratiche

Un’equazione biquadratica è per esempio l’equazione 3x⁴ + 7x² + 5 = 0. In generale un’equazione si dice biquadratica se con i principi di equivalenza si può portare alla forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

dove a, b, c sono numeri reali e il coefficiente a è diverso da zero. L’equazione somiglia un po’ a un’equazione di secondo grado, solo che gli esponenti sono il doppio. Come si risolve un’equazione di questo tipo? Con un piccolo trucco la trasformiamo proprio in un’equazione di secondo grado. Il trucco si chiama sostituzione. La eseguiamo ponendo t = x² e scrivendo t ovunque nell’equazione originale comparisse x². Come esempio prendiamo l’equazione biquadratica

$$x^4-2x^2-15=0$$

Sostituiamo tutte le occorrenze di x² con t, ricordando che x⁴ è in realtà x² · x² e quindi che x⁴ = t²:

$$t^2-2t-15=0$$

Ora vediamo perché abbiamo fatto questa sostituzione: abbiamo ottenuto una comune equazione di secondo grado. La possiamo risolvere per esempio calcolando il discriminante oppure con il metodo del completamento del quadrato. Il discriminante risulta

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

e quindi le radici dell’equazione sono

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

Abbiamo così due radici dell’equazione:

$$t_1=5,t_2=-3$$

A questo punto conosciamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado t² − 2t − 15 = 0. Ci resta da calcolare le soluzioni dell’equazione biquadratica originale. Sappiamo che se t è uguale a 5 o a meno 3, l’equazione è soddisfatta. Ma noi non vogliamo conoscere le soluzioni per t, vogliamo conoscere le soluzioni per x. Sappiamo che t = x²: così abbiamo scelto la sostituzione. Perciò, risolvendo ora le equazioni

$$x^2=5\text{e}{x}^2=-3$$

otteniamo le soluzioni dell’equazione originale per x. La prima equazione è semplice: se x² = 5, allora

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

Con la seconda equazione è più complicato, perché x² = −3 non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali: dovremmo cercare le soluzioni nell’insieme dei numeri complessi. Se cerchiamo soltanto le soluzioni nell’insieme dei numeri reali, possiamo dire che l’equazione biquadratica originale ha due radici reali $x_1=\sqrt{5}$ e $x_2=-\sqrt{5}$.