Неравенства в разложен и дробен вид

Произведението на няколко числа е положително, когато в него няма нула и отрицателните множители са четен брой. Минус по минус е плюс, така че отрицателните множители се неутрализират по двойки. Ако броят им е нечетен, цялото произведение е отрицателно. На тази проста идея се основава решаването на всички неравенства, които имат от едната страна произведение или частно, а от другата нула.

Ако познаваш статията за квадратните неравенства, неравенството (x − 1)(x + 3) > 0 вече умееш да решиш: намираш корените 1 и −3 и гледаш къде изразът е положителен. Сега ще видиш, че същият подход се справя с произволен брой множители, не само с два.

Метод на нулите

Започваме с това неравенство:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Скобите няма да разкриваме, защото бихме получили кубичен многочлен и с него се работи много по-трудно. Разложеният на множители вид, обратно, е най-доброто, което можеше да ни се случи.

Първо намираме нулите, т.е. числата, в които някой множител е равен на нула. Всяка скоба поотделно приравняваме на нула:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Нулите разделят числовата ос на четири интервала: (−∞; −2), (−2; 1), (1; 3) и (3; +∞). Във всеки от тях никоя скоба не минава през нулата и затова не променя знака си. Значи е достатъчно от всеки интервал да изберем по едно число и да установим какви са знаците на отделните скоби.

• От интервала (−∞; −2) опитваме например x = −3. И трите скоби са отрицателни: (−1) · (−4) · (−6). Три отрицателни множителя са нечетен брой, така че произведението излиза отрицателно.
• От интервала (−2; 1) заместваме с нула: 2 · (−1) · (−3). Два отрицателни множителя, произведението е положително.
• От интервала (1; 3) върши работа двойката: 4 · 1 · (−1). Един отрицателен множител, произведението е отрицателно.
• От интервала (3; +∞) пробваме десетката: всички скоби са положителни, значи и произведението.

Това се вижда прегледно в таблицата на знаците. На всеки ред има една скоба, най-долу е цялото произведение и с червено са интервалите, в които то е положително:

Търсим кога произведението е по-голямо от нула. Самите нули не принадлежат на решението, защото в тях произведението е равно на нула, а нулата не е по-голяма от нула. Решението е

$$x\in (-2;1)\cup (3;+\mathrm{\infty }).$$

Проверка: за x = 4 получаваме 6 · 3 · 1 = 18 и това наистина е положително число.

Същият резултат се вижда и от графиката на функцията y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Графиката пресича оста x точно в нулите и между две съседни е изцяло над оста или изцяло под нея. Там, където е над оста, произведението е положително, и тези части са в червено:

Знаците не е нужно да се редуват

В предишния пример знаците последователно се сменяха: минус, плюс, минус, плюс. Това изкушава да определим знака само в един интервал, а в останалите после автоматично да го сменяме. По-добре не го прави. Разгледай неравенството

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Нулите са 1 и −2, имаме три интервала. Опитваме по едно число:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, отрицателно,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, положително,
• x = 2: 1² · 4 = 4, положително.

При преминаването през единицата знакът не се промени. Това е заради квадрата: (x − 1)² е втора степен, а тя е винаги положителна или нула, каквото и да има вътре. Затова множител с четна степен никога не обръща знака на произведението. Ако само редувахме знаците, в последния интервал щеше да ни излезе минус и щяхме да изгубим сериозна част от решението.

Следователно изразът е положителен в (−2; 1) и в (1; +∞). Но неравенството казва „по-голямо или равно“, така че прибавяме и точките, в които изразът е равен на нула. Това са двете нули, −2 и 1. Единицата принадлежи на решението благодарение на равенството и двата интервала се сливат в един:

$$x\in [-2;+\mathrm{\infty }).$$

Внимавай при строго неравенство: при (x − 1)²(x + 2) > 0 единицата не би принадлежала на решението и би излязло (−2; 1) ∪ (1; +∞), т.е. интервал с дупка.

Дробен вид

С дробта се работи съвсем по същия начин, защото частното има същия знак като произведението: положително е, ако числителят и знаменателят имат един и същи знак. Решаваме неравенството

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Нулите намираме и в числителя, и в знаменателя: x = −2 и x = 4. Заместваме по едно число от всеки интервал:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, положително,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, отрицателно,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, положително.

Търсим отрицателни стойности или нула. Дробта е отрицателна в интервала (−2; 4). Нула излиза, когато числителят е нула, т.е. за x = −2, и това число принадлежи на решението. Четворката обаче не принадлежи никога, какъвто и знак да стои в неравенството. За x = 4 в знаменателя би имало нула и на нула не може да се дели. Затова нулите на знаменателя винаги изключваме.

На чертежа го разпознаваш по кръгчетата. Запълненото кръгче при −2 означава, че числото принадлежи на решението, празното при четворката – че не принадлежи. Резултатът гласи

$$x\in [-2;4).$$

Не умножавай по знаменателя

Методът на нулите работи само когато от едната страна на неравенството има нула. Да вземем неравенството

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Много е изкушаващо да го умножим по знаменателя x + 1, да получим 2x − 1 ≥ x + 1 и от това x ≥ 2. Но не знаем дали x + 1 е положително, или отрицателно, и при умножение по отрицателно число знакът на неравенството се обръща. Затова това не беше еквивалентно преобразуване и част от решението ни изчезна. Повече за това ще прочетеш в статията за линейните неравенства.

Правилният начин е да прехвърлим всичко от едната страна:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Единицата записваме като дроб със същия знаменател:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

И изваждаме дробите:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Нулите са 2 и −1. За x = −2 получаваме $\frac{-4}{-1}=4$, положително. За x = 0 получаваме $\frac{-2}{1}$, отрицателно. За x = 3 получаваме $\frac{1}{4}$, положително. Двойката принадлежи на решението (дробта там е равна на нула), минус единица не, защото е нула на знаменателя. Следователно цялото решение е

$$x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup [2;+\mathrm{\infty }).$$

Че умножението по знаменателя наистина ни е отнело нещо, проверяваме, като заместим x = −2 в първоначалното неравенство: $\frac{-5}{-1}=5$ и пет е по-голямо от едно. Вярно е.