Εξισώσεις δευτέρου βαθμού στους μιγαδικούς αριθμούς

Αν στη λύση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού βγει αρνητική διακρίνουσα, αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτή η εξίσωση έχει όμως πάντα λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Κίνητρο

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση δευτέρου βαθμού: x² + 2x + 5 = 0. Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: Δ= 4 − 20 = −16. Όπως ήδη ξέρουμε, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν όμως το πλεονέκτημα ότι μας επιτρέπουν να πάρουμε τετραγωνική ρίζα ακόμη και αρνητικού αριθμού. Επειδή ισχύει i² = −1, μπορούμε να ξαναγράψουμε τη διακρίνουσά μας στη μορφή −16 = 16i². Από αυτόν τον αριθμό μπορούμε πια να πάρουμε τετραγωνική ρίζα και παίρνουμε 4i. Υπολογίζουμε τη λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Τύποι και σχέσεις

Από το προηγούμενο παράδειγμα μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού, όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική:

$$x_{1,2}=\frac{-\beta \pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }.$$

Από αυτό προκύπτει ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει λύση. Αν η διακρίνουσα είναι μη αρνητική, μας φτάνουν οι πραγματικοί αριθμοί· αν η διακρίνουσα είναι αρνητική, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση στους μιγαδικούς αριθμούς. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Και για αυτές τις μιγαδικές ρίζες ισχύουν οι τύποι του Vieta. Πρώτα η απόδειξη για το άθροισμα:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-\beta +i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }+\frac{-\beta -i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }\\ & =& \frac{-\beta +i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-\beta -i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }\\ & =& \frac{-2\beta }{2\alpha }=-\frac{\beta }{\alpha }\end{array}$$

Και για το γινόμενο. Αξιοποιούμε ότι η διακρίνουσα είναι αρνητική και, επειδή πρέπει να πάρουμε την τετραγωνική της ρίζα, θα δουλέψουμε με το μείον Δ, οπότε παίρνουμε θετικό αριθμό. Στη θέση του |Δ| θα γράφουμε έτσι −Δ, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-\beta +i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\cdot \frac{-\beta -i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }\\ & =& \frac{{\beta }^2+\beta \cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-\beta \cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{{\beta }^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{{\beta }^2-\mathrm{\Delta }}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{{\beta }^2-({\beta }^2-4\alpha \gamma )}{4{\alpha }^2}\\ & =& \frac{4\alpha \gamma }{4{\alpha }^2}=\frac{\gamma }{\alpha }\end{array}$$

Παράδειγμα

Λύσε την εξίσωση δευτέρου βαθμού 2x² + 6x + 9 = 0. Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: Δ= 36 − 72 = −36. Αρνητικός αριθμός, άρα χρησιμοποιούμε τον τύπο για τις μιγαδικές ρίζες και απλώς αντικαθιστούμε:

$$x_1=\frac{-\beta +i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-\beta -i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2\alpha }=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$