Équations du second degré à racines complexes

Si l’on obtient un discriminant strictement négatif en résolvant une équation du second degré, cela signifie que l’équation n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels. Elle admet pourtant toujours des solutions dans l’ensemble des nombres complexes.

Motivation

Essayons de résoudre l’équation suivante : x² + 2x + 5 = 0. Calculons d’abord le discriminant : Δ= 4 − 20 = −16. Comme nous le savons, cette équation n’a pas de solution réelle. Les nombres complexes ont toutefois l’avantage de permettre d’extraire la racine carrée même d’un nombre négatif. Comme i² = −1, on peut écrire le discriminant sous la forme −16 = 16i². On peut alors extraire la racine de ce nombre, ce qui donne 4i. Calculons les solutions de l’équation :

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formules et relations

De l’exemple précédent, on peut déduire la formule permettant de calculer les racines de l’équation du second degré lorsque le discriminant est strictement négatif :

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Il en découle que toute équation du second degré admet des solutions. Si le discriminant est positif ou nul, les nombres réels suffisent ; s’il est strictement négatif, il faut travailler dans l’ensemble des nombres complexes. Plus généralement, toute équation du second degré admet donc des solutions dans l’ensemble des nombres complexes.

Les relations entre coefficients et racines restent valables pour ces racines complexes. Commençons par la somme :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Puis le produit. Comme le discriminant est strictement négatif et qu’il faut en extraire la racine, on travaille avec son opposé −Δ, qui est strictement positif. On écrit donc −Δ au lieu de |Δ| ; le résultat est le même.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Exemple

Résous l’équation 2x² + 6x + 9 = 0. Calculons le discriminant : Δ= 36 − 72 = −36. Le nombre est négatif, on utilise donc la formule pour les racines complexes et on remplace simplement :

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$