Kwadratische vergelijkingen in de complexe getallen

Als je bij het oplossen van een kwadratische vergelijking een negatieve discriminant krijgt, betekent dat dat de vergelijking in de reële getallen geen oplossing heeft. Deze vergelijking heeft echter altijd een oplossing in de complexe getallen.

Motivatie

We proberen de volgende kwadratische vergelijking op te lossen: x² + 2x + 5 = 0. Eerst berekenen we de discriminant: D = 4 − 20 = −16. Zoals we al weten, heeft deze vergelijking geen oplossing in de reële getallen. Complexe getallen hebben echter het voordeel dat we er ook de wortel uit een negatief getal mee kunnen trekken. Omdat i² = −1 geldt, kunnen we onze discriminant herschrijven als −16 = 16i². Uit dit getal kunnen we al de wortel trekken en we krijgen 4i. We berekenen de oplossingen van de kwadratische vergelijking:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formules en verbanden

Uit het vorige voorbeeld kunnen we de formule afleiden voor het berekenen van de oplossingen van een kwadratische vergelijking als de discriminant negatief is:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Hieruit volgt dat elke kwadratische vergelijking een oplossing heeft. Als de discriminant niet-negatief is, volstaan de reële getallen, als de discriminant negatief is, moeten we de vergelijking in de complexe getallen oplossen. In het algemeen kunnen we zeggen dat elke kwadratische vergelijking een oplossing heeft in de complexe getallen.

Ook voor deze complexe oplossingen gelden de formules van Viète. Eerst de afleiding voor de som:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

En voor het product. We maken gebruik van het feit dat de discriminant negatief is en omdat we er de wortel uit moeten trekken, rekenen we met min D, waardoor we een positief getal krijgen. In plaats van |D| schrijven we dus −D, het resultaat is hetzelfde.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Voorbeeld

Los de kwadratische vergelijking 2x² + 6x + 9 = 0 op. We berekenen de discriminant: D = 36 − 72 = −36. Een negatief getal, dus we gebruiken de formule voor complexe oplossingen en vullen alleen in:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$