Toisen asteen yhtälö kompleksilukujen joukossa

Jos toisen asteen yhtälöä ratkaistaessa diskriminantiksi tulee negatiivinen luku, yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Yhtälöllä on kuitenkin aina ratkaisu kompleksilukujen joukossa.

Motivaatio

Yritetään ratkaista seuraava toisen asteen yhtälö: x² + 2x + 5 = 0. Ensin lasketaan diskriminantti: D = 4 − 20 = −16. Kuten jo tiedetään, tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Kompleksiluvuilla on kuitenkin se etu, että niiden avulla voidaan ottaa neliöjuuri myös negatiivisesta luvusta. Koska i² = −1, diskriminantti voidaan kirjoittaa muotoon −16 = 16i². Tästä luvusta voidaan jo ottaa neliöjuuri, ja saadaan 4i. Lasketaan toisen asteen yhtälön ratkaisut:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Kaavat ja yhteydet

Edellisestä esimerkistä voidaan johtaa kaava toisen asteen yhtälön juurten laskemiseen, kun diskriminantti on negatiivinen:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Tästä siis seuraa, että jokaisella toisen asteen yhtälöllä on ratkaisu. Jos diskriminantti ei ole negatiivinen, riittävät reaaliluvut, jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälö täytyy ratkaista kompleksilukujen joukossa. Yleisesti voidaan sanoa, että jokaisella toisen asteen yhtälöllä on ratkaisu kompleksilukujen joukossa.

Myös näille kompleksijuurille pätevät Vietan kaavat. Ensin summan johtaminen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Ja sitten tulo. Hyödynnetään sitä, että diskriminantti on negatiivinen, ja koska siitä täytyy ottaa neliöjuuri, lasketaan miinus D:llä, jolloin saadaan positiivinen luku. Lausekkeen |D| sijaan kirjoitetaan siis −D, tulos on sama.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Esimerkki

Ratkaise toisen asteen yhtälö 2x² + 6x + 9 = 0. Lasketaan diskriminantti: D = 36 − 72 = −36. Negatiivinen luku, joten käytetään kompleksijuurten kaavaa ja vain sijoitetaan:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$