Quadratische Gleichungen in der Menge der komplexen Zahlen

Wenn du beim Lösen einer quadratischen Gleichung eine negative Diskriminante erhältst, bedeutet das, dass die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung hat. Diese Gleichung hat aber immer eine Lösung in der Menge der komplexen Zahlen.

Motivation

Versuchen wir, die folgende quadratische Gleichung zu lösen: x² + 2x + 5 = 0. Zuerst berechnen wir die Diskriminante: D = 4 − 20 = −16. Wie wir schon wissen, hat diese Gleichung in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung. Komplexe Zahlen haben aber den Vorteil, dass sie es uns erlauben, auch aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen. Weil i² = −1 gilt, können wir unsere Diskriminante in die Form −16 = 16i² umschreiben. Aus dieser Zahl können wir nun die Wurzel ziehen und erhalten 4i. Wir berechnen die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formeln und Zusammenhänge

Aus dem vorigen Beispiel können wir eine Formel für die Berechnung der Lösungen einer quadratischen Gleichung mit negativer Diskriminante herleiten:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Daraus folgt, dass jede quadratische Gleichung eine Lösung hat. Ist die Diskriminante nicht negativ, genügen uns die reellen Zahlen, ist die Diskriminante negativ, müssen wir die Gleichung in den komplexen Zahlen lösen. Allgemein können wir sagen, dass jede quadratische Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen eine Lösung hat.

Auch für diese komplexen Lösungen gilt der Satz von Vieta. Zuerst die Herleitung für die Summe:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Und für das Produkt. Wir nutzen aus, dass die Diskriminante negativ ist, und weil wir aus ihr die Wurzel ziehen müssen, rechnen wir mit minus D, wodurch wir eine positive Zahl erhalten. Statt |D| schreiben wir also −D, das Ergebnis ist dasselbe.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Beispiel

Löse die quadratische Gleichung 2x² + 6x + 9 = 0. Wir berechnen die Diskriminante: D = 36 − 72 = −36. Eine negative Zahl, also verwenden wir die Formel für komplexe Lösungen und setzen einfach ein:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$