Ecuația de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe

Dacă la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea obții un discriminant negativ, înseamnă că ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale. Totuși, ecuația are întotdeauna soluții în mulțimea numerelor complexe.

Motivație

Să rezolvăm următoarea ecuație de gradul al doilea: x² + 2x + 5 = 0. Mai întâi calculăm discriminantul: Δ= 4 − 20 = −16. După cum știm deja, această ecuație nu are soluții în mulțimea numerelor reale. Numerele complexe au însă avantajul că ne permit să extragem radical și dintr-un număr negativ. Deoarece i² = −1, putem scrie discriminantul sub forma −16 = 16i². Din acest număr putem acum extrage radical și obținem 4i. Calculăm soluțiile ecuației de gradul al doilea:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formule și relații

Din exemplul precedent putem deduce formula pentru calculul soluțiilor unei ecuații de gradul al doilea cu discriminant negativ:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

De aici rezultă că orice ecuație de gradul al doilea are soluții. Dacă discriminantul este nenegativ, ne sunt suficiente numerele reale; dacă discriminantul este negativ, trebuie să rezolvăm ecuația în numere complexe. În general putem spune că orice ecuație de gradul al doilea are soluții în mulțimea numerelor complexe.

Și pentru aceste soluții complexe sunt valabile relațiile lui Viète. Mai întâi deducerea pentru sumă:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Apoi pentru produs. Folosim faptul că discriminantul este negativ și, pentru că trebuie să extragem radical din el, vom lucra cu −Δ, obținând astfel un număr pozitiv. În loc de |Δ| vom scrie deci −Δ, rezultatul este același.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Exemplu

Rezolvă ecuația de gradul al doilea 2x² + 6x + 9 = 0. Calculăm discriminantul: Δ= 36 − 72 = −36. Este un număr negativ, așa că folosim formula pentru soluțiile complexe și doar înlocuim:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$