Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Denklem

Bir ikinci dereceden denklemi çözerken diskriminant negatif çıkarsa, bu denklemin gerçek sayılarda çözümü olmadığı anlamına gelir. Ancak bu denklemin karmaşık sayılarda her zaman çözümü vardır.

Motivasyon

Şu ikinci dereceden denklemi çözmeyi deneyelim: x² + 2x + 5 = 0. Önce diskriminantı hesaplarız: Δ= 4 − 20 = −16. Bildiğimiz gibi bu denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Ama karmaşık sayıların avantajı, negatif bir sayının bile karekökünü almamıza izin vermesidir. i² = −1 olduğundan diskriminantımızı −16 = 16i² biçiminde yazabiliriz. Bu sayının artık karekökünü alabiliriz ve 4i elde ederiz. İkinci dereceden denklemin çözümlerini hesaplarız:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formüller ve Bağıntılar

Önceki örnekten, diskriminant negatif olduğunda ikinci dereceden denklemin köklerini hesaplama formülünü çıkarabiliriz:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Buradan her ikinci dereceden denklemin bir çözümü olduğu sonucu çıkar. Diskriminant negatif değilse gerçek sayılar yeter; diskriminant negatifse denklemi karmaşık sayılarda çözmemiz gerekir. Genel olarak, her ikinci dereceden denklemin karmaşık sayılarda çözümü vardır diyebiliriz.

Bu karmaşık kökler için de Vieta bağıntıları geçerlidir. Önce toplam için ispat:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Şimdi çarpım için. Diskriminantın negatif olduğundan yararlanırız; karekökünü almamız gerektiği için eksi Δ ile hesap yapacağız ve böylece pozitif bir sayı elde edeceğiz. |Δ| yerine −Δ yazarız, sonuç aynıdır.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Örnek

2x² + 6x + 9 = 0 ikinci dereceden denklemini çöz. Diskriminantı hesaplarız: Δ= 36 − 72 = −36. Sayı negatif; bu yüzden karmaşık kökler için formülü kullanır ve yalnızca yerine yazarız:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$