Equação do 2º grau no conjunto dos números complexos

Se, ao resolver uma equação do 2º grau, você obtiver um discriminante negativo, isso significa que a equação não tem solução no conjunto dos números reais. No entanto, essa equação sempre tem solução no conjunto dos números complexos.

Motivação

Vamos tentar resolver a seguinte equação do 2º grau: x² + 2x + 5 = 0. Primeiro calculamos o discriminante: Δ= 4 − 20 = −16. Como já sabemos, essa equação não tem solução no conjunto dos números reais. Os números complexos, porém, têm a vantagem de nos permitir extrair a raiz quadrada até de um número negativo. Como vale i² = −1, podemos reescrever o nosso discriminante na forma −16 = 16i². Desse número já podemos extrair a raiz e obtemos 4i. Calculamos a solução da equação do 2º grau:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Fórmulas e relações

Do exemplo anterior podemos deduzir a fórmula para calcular as raízes da equação do 2º grau quando o discriminante é negativo:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Disso decorre que toda equação do 2º grau tem solução. Se o discriminante é não negativo, bastam os números reais; se o discriminante é negativo, precisamos resolver a equação nos números complexos. De modo geral, podemos dizer que toda equação do 2º grau tem solução no conjunto dos números complexos.

Também para essas raízes complexas valem as relações de Girard. Primeiro a dedução para a soma:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

E para o produto. Aproveitamos que o discriminante é negativo e, como precisamos extrair a sua raiz, vamos trabalhar com menos Δ, obtendo um número positivo. No lugar de |Δ| escreveremos, então, −Δ; o resultado é o mesmo.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Exemplo

Resolva a equação do 2º grau 2x² + 6x + 9 = 0. Calculamos o discriminante: Δ= 36 − 72 = −36. Número negativo, então usamos a fórmula para as raízes complexas e apenas substituímos:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$