Andregradslikninger i de komplekse tallene

Hvis du får en negativ diskriminant når du løser en andregradslikning, betyr det at likningen ikke har noen løsning i de reelle tallene. Likevel har denne likningen alltid en løsning i de komplekse tallene.

Motivasjon

La oss prøve å løse følgende andregradslikning: x² + 2x + 5 = 0. Først regner vi ut diskriminanten: D = 4 − 20 = −16. Som vi allerede vet, har denne likningen ingen løsning i de reelle tallene. De komplekse tallene har imidlertid den fordelen at de lar oss ta kvadratroten også av et negativt tall. Siden i² = −1, kan vi skrive om diskriminanten vår til formen −16 = 16i². Dette tallet kan vi nå ta kvadratroten av og får 4i. Vi regner ut løsningene av andregradslikningen:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formler og sammenhenger

Av det forrige eksempelet kan vi utlede en formel for å regne ut løsningene av en andregradslikning når diskriminanten er negativ:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Av dette følger at hver andregradslikning har en løsning. Hvis diskriminanten er ikke-negativ, holder de reelle tallene, og hvis diskriminanten er negativ, må vi løse likningen i de komplekse tallene. Generelt kan vi si at hver andregradslikning har løsning i de komplekse tallene.

Også for disse komplekse løsningene gjelder Vietas formler. Først utledningen for summen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Og for produktet. Vi utnytter at diskriminanten er negativ, og siden vi må ta kvadratroten av den, regner vi med minus D, slik at vi får et positivt tall. I stedet for |D| skriver vi altså −D, resultatet er det samme.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Eksempel

Løs andregradslikningen 2x² + 6x + 9 = 0. Vi regner ut diskriminanten: D = 36 − 72 = −36. Et negativt tall, så vi bruker formelen for komplekse løsninger og setter bare inn:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$