Ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los números complejos

Si al resolver una ecuación de segundo grado te sale un discriminante negativo, significa que la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, esta ecuación siempre tiene solución en el conjunto de los números complejos.

Motivación

Intentemos resolver la siguiente ecuación de segundo grado: x² + 2x + 5 = 0. Primero calculamos el discriminante: Δ= 4 − 20 = −16. Como ya sabemos, esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Pero los números complejos tienen la ventaja de que nos permiten hallar la raíz incluso de un número negativo. Como se cumple que i² = −1, podemos reescribir nuestro discriminante en la forma −16 = 16i². A este número ya podemos extraerle la raíz y obtenemos 4i. Calculamos las soluciones de la ecuación de segundo grado:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Fórmulas y relaciones

Del ejemplo anterior podemos deducir la fórmula para calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado si el discriminante es negativo:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

De aquí se deduce que toda ecuación de segundo grado tiene solución. Si el discriminante no es negativo, nos bastan los números reales; si el discriminante es negativo, tenemos que resolver la ecuación en los números complejos. En general podemos decir que toda ecuación de segundo grado tiene solución en el conjunto de los números complejos.

También para estas soluciones complejas se cumplen las relaciones de Cardano-Vieta. Primero la deducción para la suma:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Y para el producto. Aprovechamos que el discriminante es negativo y, como necesitamos extraerle la raíz, trabajaremos con menos Δ, con lo que obtenemos un número positivo. En lugar de |Δ| escribiremos, pues, −Δ; el resultado es el mismo.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Ejemplo

Resuelve la ecuación de segundo grado 2x² + 6x + 9 = 0. Calculamos el discriminante: Δ= 36 − 72 = −36. Es un número negativo, así que usamos la fórmula para las soluciones complejas y solo sustituimos:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$