Andengradsligninger i de komplekse tal

Hvis du ved løsningen af en andengradsligning får en negativ diskriminant, betyder det, at ligningen ikke har nogen løsning i de reelle tal. Men denne ligning har altid en løsning i de komplekse tal.

Motivation

Lad os prøve at løse følgende andengradsligning: x² + 2x + 5 = 0. Først beregner vi diskriminanten: d = 4 − 20 = −16. Som vi allerede ved, har denne ligning ingen løsning i de reelle tal. De komplekse tal har til gengæld den fordel, at de gør det muligt at uddrage kvadratroden af et negativt tal. Da i² = −1, kan vi omskrive vores diskriminant til formen −16 = 16i². Af dette tal kan vi nu uddrage kvadratroden og får 4i. Vi beregner andengradsligningens løsninger:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formler og sammenhænge

Ud fra det foregående eksempel kan vi udlede en formel til at beregne andengradsligningens løsninger, hvis diskriminanten er negativ:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|d|}}{2a}.$$

Heraf følger, at enhver andengradsligning har en løsning. Hvis diskriminanten ikke er negativ, er de reelle tal nok; hvis diskriminanten er negativ, må vi løse ligningen i de komplekse tal. Generelt kan vi sige, at enhver andengradsligning har en løsning i de komplekse tal.

Også for disse komplekse løsninger gælder Vietas formler. Først udledningen for summen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|d|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|d|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|d|}-b-i\sqrt{|d|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Og for produktet. Vi udnytter, at diskriminanten er negativ, og fordi vi skal uddrage kvadratroden af den, regner vi med den modsatte værdi, så vi får et positivt tal. I stedet for |d| skriver vi derfor −d, resultatet er det samme.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-d}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-d}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-d}-b\cdot i\sqrt{-d}-(-d)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+d{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-d}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Eksempel

Løs andengradsligningen 2x² + 6x + 9 = 0. Vi beregner diskriminanten: d = 36 − 72 = −36. Et negativt tal, så vi bruger formlen for komplekse løsninger og indsætter blot:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|d|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|d|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$