Квадратни уравнения в множеството на комплексните числа

Ако при решаването на квадратно уравнение ти излезе отрицателна дискриминанта, това означава, че уравнението няма решение в множеството на реалните числа. Това уравнение обаче винаги има решение в множеството на комплексните числа.

Мотивация

Нека опитаме да решим следното квадратно уравнение: x² + 2x + 5 = 0. Първо пресмятаме дискриминантата: D = 4 − 20 = −16. Както вече знаем, това уравнение няма решение в множеството на реалните числа. Комплексните числа обаче имат предимството, че ни позволяват да извадим корен и от отрицателно число. Тъй като i² = −1, можем да препишем нашата дискриминанта във вида −16 = 16i². От това число вече можем да извадим корен и получаваме 4i. Пресмятаме решенията на квадратното уравнение:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Формули и връзки

От предишния пример можем да изведем формула за пресмятане на корените на квадратно уравнение, когато дискриминантата е отрицателна:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

От това следва, че всяко квадратно уравнение има решение. Ако дискриминантата е неотрицателна, достатъчни са ни реалните числа, ако дискриминантата е отрицателна, трябва да решаваме уравнението в комплексните числа. В общия случай можем да кажем, че всяко квадратно уравнение има решение в множеството на комплексните числа.

И за тези комплексни корени са в сила формулите на Виет. Първо извеждането за сбора:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

И за произведението. Използваме това, че дискриминантата е отрицателна и тъй като трябва да извадим корен от нея, ще работим с минус D, с което получаваме положително число. Затова вместо |D| ще пишем −D, резултатът е същият.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Пример

Реши квадратното уравнение 2x² + 6x + 9 = 0. Пресмятаме дискриминантата: D = 36 − 72 = −36. Отрицателно число, така че използваме формулата за комплексни корени и само заместваме:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$