Equazioni di secondo grado nei numeri complessi

Se risolvendo un’equazione di secondo grado ottieni un discriminante negativo, significa che l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali. Tuttavia questa equazione ha sempre soluzioni nell’insieme dei numeri complessi.

Motivazione

Proviamo a risolvere la seguente equazione di secondo grado: x² + 2x + 5 = 0. Per prima cosa calcoliamo il discriminante: Δ= 4 − 20 = −16. Come sappiamo, questa equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali. I numeri complessi hanno però il vantaggio di permetterci di estrarre la radice anche di un numero negativo. Poiché i² = −1, possiamo riscrivere il nostro discriminante nella forma −16 = 16i². Ora possiamo estrarre la radice e otteniamo 4i. Calcoliamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Formule e relazioni

Dall’esempio precedente possiamo ricavare la formula per calcolare le radici di un’equazione di secondo grado quando il discriminante è negativo:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Ne segue che ogni equazione di secondo grado ha soluzioni. Se il discriminante non è negativo, ci bastano i numeri reali; se il discriminante è negativo, dobbiamo risolvere l’equazione nei numeri complessi. In generale possiamo dire che ogni equazione di secondo grado ha soluzioni nell’insieme dei numeri complessi.

Anche per queste radici complesse valgono le relazioni tra radici e coefficienti. Prima la dimostrazione per la somma:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

E poi per il prodotto. Sfruttiamo il fatto che il discriminante è negativo e, poiché dobbiamo estrarne la radice, useremo l’opposto del discriminante, che è un numero positivo. Al posto di |Δ| scriveremo quindi −Δ: il risultato è lo stesso.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Esempio

Risolvi l’equazione di secondo grado 2x² + 6x + 9 = 0. Calcoliamo il discriminante: Δ= 36 − 72 = −36. È un numero negativo, quindi usiamo la formula per le radici complesse e sostituiamo semplicemente:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$