✖

Andragradsekvationer med komplexa tal

Om du får en negativ diskriminant när du löser en andragradsekvation betyder det att ekvationen saknar lösningar över de reella talen. Däremot har ekvationen alltid lösningar över de komplexa talen.

Motivering

Vi provar att lösa följande andragradsekvation: x2 + 2x + 5 = 0. Först beräknar vi diskriminanten: D = 4 − 20 = −16. Som vi redan vet saknar den här ekvationen reella lösningar. De komplexa talen har dock fördelen att vi kan dra roten ur även ett negativt tal. Eftersom i2 = −1 kan vi skriva om vår diskriminant som −16 = 16i2. Det här talet kan vi nu dra roten ur och vi får 4i. Vi beräknar andragradsekvationens lösningar:

x1=−2+16i22=−2+4i2=2(−1+2i)2=2i−1.

x2=−2−16i22=−2−4i2=2(−1−2i)2=−2i−1.

Formler och samband

Av det förra exemplet kan vi härleda en formel för rötterna till en andragradsekvation när diskriminanten är negativ:

x1,2=−b±i|D|2a.

Av det här följer att varje andragradsekvation har lösningar. Om diskriminanten inte är negativ räcker de reella talen, om diskriminanten är negativ måste vi lösa ekvationen över de komplexa talen. Allmänt kan vi säga att varje andragradsekvation har lösningar över de komplexa talen.

Även för de här komplexa rötterna gäller Vietas formler. Först härledningen för summan:

x1+x2=−b+i|D|2a+−b−i|D|2a=−b+i|D|−b−i|D|2a=−2b2a=−ba

Och för produkten. Vi utnyttjar att diskriminanten är negativ och eftersom vi behöver dra roten ur den räknar vi med minus D, som ger ett positivt tal. I stället för |D| skriver vi alltså −D, resultatet är detsamma.

x1⋅x2=−b+i−D2a⋅−b−i−D2a=b2+b⋅i−D−b⋅i−D−(−D)i24a2=b2+Di24a2=b2−D4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca

Exempel

Lös andragradsekvationen 2x2 + 6x + 9 = 0. Vi beräknar diskriminanten: D = 36 − 72 = −36. Det är ett negativt tal, så vi använder formeln för komplexa rötter och sätter bara in:

x1=−b+i|D|2a=−6+i364=−6+6i4=3(i−1)2=−32+3i2

x2=−b−i|D|2a=…=−32−3i2

Kapitel: Andragradsekvationer, Diskriminanten, Andragradsekvation med parameter, Andragradsekvationer med komplexa tal