Másodfokú egyenletek a komplex számok halmazán

Ha a másodfokú egyenlet megoldásakor negatív diszkriminánst kapsz, az azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. Ennek az egyenletnek azonban a komplex számok halmazán mindig van megoldása.

Motiváció

Próbáljuk megoldani a következő másodfokú egyenletet: x² + 2x + 5 = 0. Először kiszámítjuk a diszkriminánst: D = 4 − 20 = −16. Ahogy már tudjuk, ennek az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. A komplex számoknak viszont megvan az az előnyük, hogy lehetővé teszik negatív számból is a gyökvonást. Mivel i² = −1, a diszkriminánsunkat átírhatjuk −16 = 16i² alakra. Ebből már lehet gyököt vonni, az eredmény 4i. Kiszámítjuk a másodfokú egyenlet megoldásait:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Képletek és összefüggések

Az előző példából levezethetjük a másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámítási képletét arra az esetre, ha a diszkrimináns negatív:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Ebből tehát az következik, hogy minden másodfokú egyenletnek van megoldása. Ha a diszkrimináns nemnegatív, elég a valós szám, ha a diszkrimináns negatív, az egyenletet a komplex számok körében kell megoldanunk. Általánosan elmondhatjuk, hogy minden másodfokú egyenletnek van megoldása a komplex számok halmazán.

Ezekre a komplex gyökökre is érvényesek a Viète-formulák. Először az összeg levezetése:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

És a szorzaté. Kihasználjuk, hogy a diszkrimináns negatív, és mivel gyököt kell vonnunk belőle, a diszkrimináns ellentettjével számolunk, így pozitív számot kapunk. A |D| helyett tehát a −D kifejezést írjuk, az eredmény ugyanaz.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Példa

Oldd meg a 2x² + 6x + 9 = 0 másodfokú egyenletet. Kiszámítjuk a diszkriminánst: D = 36 − 72 = −36. Negatív szám, ezért a komplex gyökök képletét használjuk, és csak behelyettesítünk:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$