Inecuaciones de segundo grado

Una inecuación de segundo grado podemos escribirla en la forma general así: ax² + bx + c > 0 o bien ax² + bx + c < 0, donde a, b, c son números reales cualesquiera, a ≠ 0. En lugar de «mayor que» y «menor que» podemos usar, por supuesto, «mayor o igual» y «menor o igual».

Coeficiente a positivo

Una inecuación así se resuelve de forma parecida a una ecuación de segundo grado corriente: primero calculamos el discriminante y del resultado podemos deducir el procedimiento siguiente. Si el discriminante es positivo, la ecuación asociada tiene dos raíces reales. Una raíz de la ecuación es un punto del eje de abscisas (eje OX) en el que la gráfica de la función ax² + bx + c corta al eje OX. Estos dos puntos de corte dividen el eje OX en tres intervalos.

Podemos intentar resolver la inecuación 2x² − 7x + 3 < 0. Dibujamos la gráfica de la función 2x² − 7x + 3, que es así:

Vemos que la gráfica corta al eje OX en dos puntos: $x_1=\frac{1}{2}$ y x₂ = 3. Si resolviéramos la ecuación de segundo grado corriente, obtendríamos la misma solución, porque el discriminante de esta ecuación es

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Las raíces las calcularíamos así:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Estas dos raíces dividen la gráfica de la función 2x² − 7x + 3 en tres intervalos.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$: en este intervalo los valores son positivos (la gráfica está «por encima» del eje OX, parte azul de la gráfica)
• $(\frac{1}{2},3)$: en este intervalo los valores son negativos (la gráfica está «por debajo» del eje OX, parte roja de la gráfica)
• (3, +∞): en este intervalo los valores vuelven a ser positivos, el resto de la parte azul de la gráfica.

Fíjate en que en los intervalos usamos paréntesis, que indican un intervalo abierto. Eso significa que ni el número 3 ni $\frac{1}{2}$ están incluidos en el intervalo $(\frac{1}{2},3)$. Es porque en el punto x = 3 la función vale cero y nosotros queríamos escribir el intervalo en el que los valores son menores que cero.

Ya conocemos toda la información necesaria para determinar el resultado de la inecuación 2x² − 7x + 3 < 0. Nos preguntamos: ¿cuándo son los valores de la función 2x² − 7x + 3 menores que cero? Son menores que cero en el intervalo $(\frac{1}{2},3)$, la parte roja de la gráfica.

Podemos intentar resolver también estas inecuaciones:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: esta inecuación se diferencia de la anterior en que tiene ≤ en lugar de un simple <. El resultado será el mismo que en el caso anterior, solo que en lugar del intervalo abierto usamos el intervalo cerrado. El resultado será, pues, el intervalo $[\frac{1}{2},3]$, porque en los puntos $\frac{1}{2}$ y 3 la función 2x² − 7x + 3 vale cero y ahora buscamos cuándo esta función es menor o igual que cero. No olvides que en la inecuación está el signo ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: el resultado serán las «partes azules» de la gráfica de la función. Los intervalos resultantes debemos unirlos, porque la función es positiva tanto en el intervalo $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ como en el intervalo (3, +∞). El conjunto resultante tiene la forma $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: de nuevo solo hemos cambiado > por ≥. El resultado será, pues, el mismo conjunto, solo que incluimos en él los elementos $\frac{1}{2}$ y 3, lo cual hacemos con un intervalo cerrado: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,+\mathrm{\infty })$.

Coeficiente a negativo

¿Qué pasaría si cambiáramos la inecuación anterior por −x² + x + 2 < 0? El cambio principal se ha producido en el coeficiente a, que ahora es igual a a = −1. En la inecuación anterior teníamos 2x², el coeficiente de x² era positivo, mientras que aquí es negativo. Lo mejor será mirar la gráfica:

Vemos que la gráfica ha cambiado sobre todo en que ya no tiene forma de letra «U», sino de colina. Pero en el procedimiento no ha cambiado nada. De nuevo surgen tres intervalos:

• (−∞, −1): los valores son negativos.
• (−1, 2): los valores son positivos.
• (2, +∞): los valores son negativos.

El resultado de la inecuación −x² + x + 2 < 0 será, pues, la unión de los intervalos (−∞, −1) ∪ (2, +∞).

¡Pero yo no quiero estar dibujando gráficas siempre!

¡No hace falta! Todas las soluciones anteriores se basaban en que dibujábamos la gráfica y de ella leíamos los puntos de corte con el eje OX y después también si en el intervalo dado los valores son positivos o negativos. Pero se puede hacer de otra manera.

Si tenemos la inecuación de segundo grado 3x² − 4x + 1 < 0, podemos resolver simplemente la ecuación de segundo grado 3x² − 4x + 1 = 0 por los métodos clásicos. Calculamos, pues, el discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Después calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Sabemos que la gráfica corta al eje OX en los puntos $x_1=\frac{1}{3}$ y x₂ = 1. Surgen tres intervalos: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1,+∞). La cuestión es cómo averiguar si la función f(x) = 3x² − 4x + 1 tiene en el intervalo dado valores positivos o negativos.

Lo averiguamos sustituyendo siempre en la función f(x) = 3x² − 4x + 1 algún número del intervalo dado. Si el resultado de la función es positivo, la función es positiva en todo el intervalo. Lo mismo para los valores negativos.

• Elegimos un número cualquiera del intervalo $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, por ejemplo el cero, con el que se calcula fácilmente. Evaluamos la función f en cero: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. El número 1 es positivo, así que en este intervalo los valores son positivos.

• Elegimos un número del intervalo $(\frac{1}{3},1)$: lo mejor es quizá un medio:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  El número $-\frac{1}{4}$ es negativo, así que en este intervalo todos los valores son negativos.

• En el último intervalo los valores serán los mismos que en el primero: positivos. Siempre se alternan: positivo, negativo, positivo o negativo, positivo, negativo. Pero también podemos calcularlo. Elegimos un número del intervalo (1,+∞), por ejemplo 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Es un número positivo, así que todos los valores de este intervalo son positivos.

Queda por terminar de resolver toda la inecuación. Tenía la forma 3x² − 4x + 1 < 0. Según la información anterior, sabemos que la función 3x² − 4x + 1 tiene valores negativos en el intervalo $(\frac{1}{3},1)$. Solo para comprobarlo, podemos mirar la gráfica:

Discriminante nulo

Al resolver la ecuación de segundo grado puede salirnos un discriminante nulo. Sale cuando la gráfica de la función toca el eje OX en un solo punto. Lo mostraremos con la inecuación 3x² + 6x + 3 ≥ 0. El discriminante es igual a cero:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

La gráfica sería así:

Como se ve, la gráfica toca el eje OX en un único punto x₁ = −1 y el resto de la gráfica está por encima del eje OX, en valores positivos. Eso significa que la solución de la inecuación 3x² + 6x + 3 ≥ 0 es todo el conjunto de los números reales, porque sea cual sea el número real que pongamos en lugar de x, el valor será siempre mayor o igual que cero.

Discriminante negativo

Si nos sale un discriminante negativo, significa que la gráfica nunca corta al eje OX. ¿Cómo se refleja esto en nuestras inecuaciones? Así: la gráfica está o bien entera por encima del eje OX, o bien entera por debajo del eje OX. Si transformáramos la inecuación anterior así: 3x² + 6x + 4 > 0 (hemos cambiado el signo de ≥ a > y hemos cambiado el número tres por cuatro), el discriminante saldría:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

y la gráfica sería así:

La gráfica está completamente por encima del eje OX; sea cual sea el número real que pongamos en lugar de x, el valor resultante será siempre positivo. La solución de la inecuación es, pues, de nuevo el conjunto de los números reales.