Inéquations du second degré

On peut écrire une inéquation du second degré sous la forme générale ax² + bx + c > 0, ou ax² + bx + c < 0, où a, b, c sont des nombres réels quelconques, a ≠ 0. Au lieu de « strictement supérieur » et « strictement inférieur », on peut bien sûr utiliser « supérieur ou égal » et « inférieur ou égal ».

Coefficient a positif

Une telle inéquation se résout à peu près comme une équation du second degré ordinaire : on calcule d’abord le discriminant, et le résultat détermine la suite. Si le discriminant est strictement positif, l’équation associée a deux racines réelles. Une racine est un point de l’axe des abscisses où la courbe de la fonction ax² + bx + c coupe cet axe. Ces deux points partagent donc l’axe des abscisses en trois intervalles.

Essayons de résoudre l’inéquation 2x² − 7x + 3 < 0. Traçons la courbe de la fonction 2x² − 7x + 3 ; elle a cette allure :

On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points : $x_1=\frac{1}{2}$ et x₂ = 3. Si l’on résolvait l’équation du second degré associée, on obtiendrait la même solution, car le discriminant de cette équation vaut :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Les racines se calculent alors ainsi :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Ces deux racines partagent la courbe de la fonction 2x² − 7x + 3 en trois intervalles :

• $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ : dans cet intervalle, les valeurs sont positives (la courbe est « au-dessus » de l’axe des abscisses, partie bleue)
• $]\frac{1}{2};3[$ : dans cet intervalle, les valeurs sont négatives (la courbe est « en dessous » de l’axe des abscisses, partie rouge)
• ]3 ; +∞[ : là encore les valeurs sont positives, c’est le reste de la partie bleue.

Remarque que, dans les intervalles, on utilise des crochets tournés vers l’extérieur, qui indiquent un intervalle ouvert. Cela signifie que ni 3 ni $\frac{1}{2}$ ne font partie de l’intervalle $]\frac{1}{2};3[$. En effet, en x = 3 la fonction vaut zéro, et nous voulons l’ensemble où les valeurs sont strictement négatives.

Nous connaissons maintenant toutes les informations nécessaires pour déterminer le résultat de l’inéquation 2x² − 7x + 3 < 0. On se demande : quand la fonction 2x² − 7x + 3 prend-elle des valeurs strictement inférieures à zéro ? Elle est négative sur l’intervalle $]\frac{1}{2};3[$, partie rouge de la courbe.

Essayons encore de résoudre ces inéquations :

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0 : cette inéquation ne diffère de la précédente que par le signe ≤ au lieu de <. Le résultat sera le même, mais on utilisera un intervalle fermé au lieu de l’intervalle ouvert. On obtient donc l’intervalle $[\frac{1}{2};3]$, car aux points $\frac{1}{2}$ et 3 la fonction 2x² − 7x + 3 vaut zéro, et l’on cherche maintenant les valeurs où la fonction est inférieure ou égale à zéro. N’oublie pas : l’inéquation contient le signe ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0 : le résultat sera formé des « parties bleues » de la courbe de la fonction. Il faut les réunir, car la fonction est positive à la fois sur $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ et sur ]3 ; +∞[. L’ensemble obtenu est $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0 : on a seulement remplacé > par ≥. Le résultat est donc le même ensemble, auquel on ajoute les éléments $\frac{1}{2}$ et 3, ce que l’on écrit avec des intervalles fermés : $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty }[$.

Coefficient a négatif

Que se passerait-il si l’on transformait l’inéquation précédente en −x² + x + 2 < 0 ? Le changement principal porte sur le coefficient a, qui vaut maintenant a = −1. Dans l’inéquation précédente, on avait 2x² : le coefficient de x² était positif, alors qu’il est négatif ici. Le mieux est de regarder la courbe :

On voit que la courbe a surtout changé de forme : elle n’a plus la forme d’un « U », mais celle d’une colline. La démarche, en revanche, n’a pas changé. On obtient à nouveau trois intervalles :

• ]−∞ ; −1[ : les valeurs sont négatives.
• ]−1 ; 2[ : les valeurs sont positives.
• ]2 ; +∞[ : les valeurs sont négatives.

La solution de l’inéquation −x² + x + 2 < 0 est donc la réunion des intervalles ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[.

Mais je ne veux pas toujours dessiner des courbes !

Tu n’y es pas obligé ! Toutes les solutions précédentes reposaient sur le tracé de la courbe : on lisait les points d’intersection avec l’axe des abscisses, puis l’on voyait où les valeurs sont positives ou négatives. Mais on peut faire autrement.

Si l’on a une inéquation du second degré 3x² − 4x + 1 < 0, il suffit de résoudre l’équation du second degré 3x² − 4x + 1 = 0 par les méthodes classiques. On calcule donc le discriminant :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Puis on calcule les racines :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

On sait que la courbe coupe l’axe des abscisses aux points $x_1=\frac{1}{3}$ et x₂ = 1. On obtient trois intervalles : $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3};1[$ et ]1 ; +∞[. La question est maintenant de savoir si la fonction f(x) = 3x² − 4x + 1 prend des valeurs positives ou négatives dans chacun de ces intervalles.

Pour cela, on remplace x dans f(x) = 3x² − 4x + 1 par un nombre quelconque de l’intervalle. Si le résultat est positif, la fonction est positive sur tout l’intervalle ; même raisonnement pour les valeurs négatives.

• On choisit un nombre de l’intervalle $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, par exemple zéro, avec lequel le calcul est simple. On calcule f en zéro : f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Le nombre 1 est positif, donc les valeurs sont positives dans cet intervalle.

• On choisit un nombre de l’intervalle $]\frac{1}{3};1[$ : le plus pratique est sans doute $\frac{1}{2}$ :

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Le nombre $-\frac{1}{4}$ est négatif, donc toutes les valeurs de cet intervalle sont négatives.

• Dans le dernier intervalle, les valeurs seront les mêmes que dans le premier, donc positives. Le signe alterne toujours : positif, négatif, positif, ou négatif, positif, négatif. On peut aussi faire le calcul. Choisissons un nombre de l’intervalle ]1 ; +∞[, par exemple 10 :

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  C’est un nombre positif, donc toutes les valeurs de cet intervalle sont positives.

Il reste à résoudre l’inéquation entière, qui était 3x² − 4x + 1 < 0. D’après les informations précédentes, la fonction 3x² − 4x + 1 prend des valeurs négatives sur l’intervalle $]\frac{1}{3};1[$. Pour le vérifier, on peut regarder la courbe :

Discriminant nul

En résolvant une équation du second degré, on peut obtenir un discriminant nul. Cela se produit lorsque la courbe de la fonction ne touche l’axe des abscisses qu’en un seul point. Prenons l’inéquation 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Le discriminant vaut zéro :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

La courbe ressemblerait à ceci :

On voit que la courbe touche l’axe des abscisses en un seul point, x₁ = −1, et que le reste de la courbe est au-dessus de l’axe, avec des valeurs positives. La solution de l’inéquation 3x² + 6x + 3 ≥ 0 est donc l’ensemble de tous les nombres réels, car pour n’importe quel réel x on obtient une valeur supérieure ou égale à zéro.

Discriminant négatif

Si le discriminant est strictement négatif, la courbe ne coupe jamais l’axe des abscisses. Cela signifie qu’elle est entièrement au-dessus de l’axe, ou entièrement en dessous. Si l’on modifie l’inéquation précédente en 3x² + 6x + 4 > 0 (on a remplacé le signe ≥ par > et le trois par un quatre), le discriminant vaut :

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

et la courbe ressemble à ceci :

La courbe est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses : quel que soit le réel x choisi, la valeur obtenue est toujours strictement positive. La solution est donc, là encore, l’ensemble des nombres réels.