Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung können wir in der allgemeinen Form so schreiben: ax² + bx + c > 0 oder ax² + bx + c < 0, wobei a, b, c beliebige reelle Zahlen sind und a ≠ 0 gilt. Statt „größer als“ und „kleiner als“ können wir natürlich auch „größer oder gleich“ und „kleiner oder gleich“ verwenden.

Positiver Koeffizient a

Eine solche Ungleichung löst man ähnlich wie eine gewöhnliche quadratische Gleichung: Zuerst berechnen wir die Diskriminante und leiten aus dem Ergebnis das weitere Vorgehen ab. Ist die Diskriminante positiv, hat die zugehörige Gleichung zwei reelle Lösungen. Eine Lösung der Gleichung ist ein Punkt auf der x-Achse, in dem der Graph der Funktion ax² + bx + c die x-Achse schneidet. Diese zwei Schnittpunkte teilen die x-Achse in drei Intervalle.

Versuchen wir, die Ungleichung 2x² − 7x + 3 < 0 zu lösen. Wir zeichnen den Graphen der Funktion 2x² − 7x + 3, er sieht so aus:

Wir sehen, dass der Graph die x-Achse in zwei Punkten schneidet: $x_1=\frac{1}{2}$ und x₂ = 3. Würden wir die gewöhnliche quadratische Gleichung berechnen, bekämen wir dieselbe Lösung, denn die Diskriminante dieser Gleichung ist

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Die Lösungen würden wir dann so berechnen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Diese zwei Lösungen teilen den Graphen der Funktion 2x² − 7x + 3 in drei Intervalle.

• $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$: In diesem Intervall sind die Werte positiv (der Graph liegt „über“ der x-Achse, blauer Teil des Graphen).
• $]\frac{1}{2};3[$: In diesem Intervall sind die Werte negativ (der Graph liegt „unter“ der x-Achse, roter Teil des Graphen).
• ]3; +∞[: In diesem Intervall sind die Werte wieder positiv, es ist der restliche blaue Teil des Graphen.

Beachte, dass wir bei den Intervallen nach außen geöffnete eckige Klammern verwenden, die ein offenes Intervall kennzeichnen. Das bedeutet, dass weder die Zahl 3 noch die Zahl $\frac{1}{2}$ im Intervall $]\frac{1}{2};3[$ enthalten ist. Der Grund: Im Punkt x = 3 hat die Funktion den Wert null, und wir wollten das Intervall angeben, in dem die Werte kleiner als null sind.

Jetzt kennen wir alle nötigen Informationen, um die Lösung der Ungleichung 2x² − 7x + 3 < 0 zu bestimmen. Wir fragen: Wann sind die Funktionswerte von 2x² − 7x + 3 kleiner als null? Sie sind kleiner als null im Intervall $]\frac{1}{2};3[$, dem roten Teil des Graphen.

Wir können noch diese Ungleichungen lösen:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: Diese Ungleichung unterscheidet sich von der vorigen nur dadurch, dass dort ≤ statt des bloßen < steht. Das Ergebnis ist dasselbe wie im vorigen Fall, nur verwenden wir statt des offenen Intervalls ein abgeschlossenes Intervall. Das Ergebnis ist also das Intervall $[\frac{1}{2};3]$, denn in den Punkten $\frac{1}{2}$ und 3 hat die Funktion 2x² − 7x + 3 den Wert null, und wir suchen jetzt, wann diese Funktion kleiner oder gleich null ist. Vergiss nicht, in der Ungleichung steht das Zeichen ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: Das Ergebnis sind die „blauen Teile“ des Graphen der Funktion. Die resultierenden Intervalle müssen wir vereinigen, denn die Funktion ist sowohl im Intervall $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ als auch im Intervall ]3; +∞[ positiv. Die resultierende Menge hat die Form $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: Wieder haben wir nur > in ≥ geändert. Das Ergebnis ist daher dieselbe Menge, nur nehmen wir noch die Elemente $\frac{1}{2}$ und 3 hinzu, was wir mit abgeschlossenen Intervallen tun: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty }[$.

Negativer Koeffizient a

Was würde passieren, wenn wir die vorige Ungleichung in −x² + x + 2 < 0 ändern würden? Die wichtigste Änderung betrifft den Koeffizienten a, der jetzt a = −1 ist. In der vorigen Ungleichung hatten wir 2x², der Koeffizient vor x² war positiv, hier dagegen ist er negativ. Am besten schauen wir uns den Graphen an:

Wir sehen, dass der Graph nicht mehr die Form des Buchstabens „U“ hat, sondern die Form eines Hügels. Am Vorgehen ändert sich aber nichts. Wieder entstehen drei Intervalle:

• ]−∞; −1[: Die Werte sind negativ.
• ]−1; 2[: Die Werte sind positiv.
• ]2; +∞[: Die Werte sind negativ.

Das Ergebnis der Ungleichung −x² + x + 2 < 0 ist also die Vereinigung der Intervalle ]−∞; −1[ ∪ ]2; +∞[.

Aber ich will nicht ständig Graphen kritzeln!

Musst du auch nicht! Alle bisherigen Lösungen beruhten darauf, dass wir einen Graphen gezeichnet, daraus die Schnittpunkte mit der x-Achse abgelesen und anschließend bestimmt haben, ob die Werte im jeweiligen Intervall positiv oder negativ sind. Es geht aber auch anders.

Haben wir die quadratische Ungleichung 3x² − 4x + 1 < 0, können wir einfach die quadratische Gleichung 3x² − 4x + 1 = 0 auf die übliche Weise lösen. Wir berechnen also die Diskriminante:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Danach berechnen wir die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Wir wissen, dass der Graph die x-Achse in den Punkten $x_1=\frac{1}{3}$ und x₂ = 1 schneidet. Es entstehen drei Intervalle: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3};1[$, ]1; +∞[. Die Frage ist, wie wir herausfinden, ob die Funktion f(x) = 3x² − 4x + 1 im jeweiligen Intervall positive oder negative Werte hat.

Das finden wir heraus, indem wir in die Funktion f(x) = 3x² − 4x + 1 jeweils irgendeine Zahl aus dem Intervall einsetzen. Ist das Ergebnis positiv, ist die Funktion auf dem ganzen Intervall positiv. Dasselbe gilt für negative Werte.

• Wir wählen eine beliebige Zahl aus dem Intervall $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, zum Beispiel null, mit der rechnet es sich gut. Für null berechnen wir den Funktionswert von f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Die Zahl 1 ist positiv, in diesem Intervall sind die Werte also positiv.

• Wir wählen eine Zahl aus dem Intervall $]\frac{1}{3};1[$: Am besten eignet sich wohl die Zahl einhalb:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Die Zahl $-\frac{1}{4}$ ist negativ, also sind in diesem Intervall alle Werte negativ.

• Im letzten Intervall sind die Werte dieselben wie im ersten – positiv. Es wechselt sich immer ab: positiv – negativ – positiv oder negativ – positiv – negativ. Wir können es aber gern nachrechnen. Wir wählen eine Zahl aus dem Intervall ]1; +∞[, zum Beispiel 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Das ist eine positive Zahl, alle Werte in diesem Intervall sind also positiv.

Jetzt müssen wir nur noch die ganze Ungleichung lösen. Sie hatte die Form 3x² − 4x + 1 < 0. Aus den bisherigen Informationen wissen wir, dass die Funktion 3x² − 4x + 1 im Intervall $]\frac{1}{3};1[$ negative Werte hat. Zur Kontrolle können wir noch einen Blick auf den Graphen werfen:

Diskriminante gleich null

Beim Lösen einer quadratischen Gleichung kann die Diskriminante null ergeben. Das passiert, wenn der Graph der Funktion die x-Achse in einem Punkt berührt. Wir zeigen es an der Ungleichung 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Die Diskriminante ist gleich null:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Der Graph würde so aussehen:

Wie man sieht, berührt der Graph die x-Achse nur im Punkt x₁ = −1, und der Rest des Graphen liegt oberhalb der x-Achse bei positiven Werten. Das bedeutet, dass die Lösung der Ungleichung 3x² + 6x + 3 ≥ 0 die ganze Menge der reellen Zahlen ist, denn welche reelle Zahl wir auch für x einsetzen, der Wert ist immer größer oder gleich null.

Negative Diskriminante

Ist die Diskriminante negativ, bedeutet das, dass der Graph die x-Achse nie schneidet. Wie wirkt sich das auf unsere Ungleichungen aus? So, dass der Graph entweder ganz über der x-Achse oder ganz unter der x-Achse liegt. Würden wir die vorige Ungleichung so abändern: 3x² + 6x + 4 > 0 (wir haben das Zeichen von ≥ zu > geändert und die Zahl drei durch vier ersetzt), dann würde die Diskriminante so ausfallen:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

und der Graph würde so aussehen:

Der Graph liegt vollständig über der x-Achse, welche reelle Zahl wir auch für x einsetzen, der resultierende Wert ist immer positiv. Die Lösung der Ungleichung ist also wieder die Menge der reellen Zahlen.